Réponse : Bonjour,
On sait que dans un triangle équilatéral, la hauteur fait médiatrice et médiane.
Donc la hauteur d'un triangle équilatéral coupe le côté opposé en son milieu, elle forme donc un triangle rectangle comprenant cette hauteur, la moitié du côté opposé puis pour hypoténuse, un côté du triangle équilatéral de départ.
D'après le théorème de Pythagore, la hauteur h est égale à :
[tex]h^{2}=1^{2}-(\frac{1}{2})^{2}\\h^{2}=1-\frac{1}{4}\\h^{2}=\frac{3}{4}\\h=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Donc l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 cm est:
[tex]\mathcal{A}=\frac{1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex].
De la même façon la hauteur H d'un triangle équilatéral de côté 20 cm est:
[tex]H^{2}=20^{2}-10^{2}=400-100=300\\H=\sqrt{300}=10\sqrt{3}[/tex].
Donc le nombre de triangles équilatéraux de côté 1 cm pour recouvrir un triangle équilatéral de côté 20 cm est:
[tex]\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=40[/tex].
Il faut donc 40 triangles équilatéraux de côté 1 cm pour recouvrir un triangle équilatéral de côté 20 cm.
PS: Je n'ai pas eu besoin d'utiliser les suites géométriques, et cette démonstration me parait cohérente.
