Réponse : Bonsoir,
2) Il faut étudier les variations de f sur son domaine de définition Df.
Pour cela, on calcule la dérivée f' de f:
[tex]f'(x)=\frac{(2x+4)(2x^{2}+8x+9)-(4x+8)(x^{2}+4x+3)}{(2x^{2}+8x+9)^{2}}\\f'(x)=\frac{4x^{3}+16x^{2}+18x+8x^{2}+32x+36-(4x^{3}+16x^{2}+12x+8x^{2}+32x+24)}{(2x^{2}+8x+9)^{2}}\\f'(x)=\frac{4x^{3}+16x^{2}+18x+8x^{2}+32x+36-4x^{3}-16x^{2}-12x-8x^{2}-32x-24}{(2x^{2}+8x+9)^{2}}\\f'(x)=\frac{6x+12}{(2x^{2}+8x+9)^{2}}=\frac{6(x+2)}{(2x^{2}+8x+9)^{2}}[/tex].
Le dénominateur est positif sur Df, car un carré est toujours positif.
Donc f'(x) est du signe de x+2 sur Df.
On obtient le tableau suivant:
x -∞ -2 +∞
x+2 - Ф +
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) f(-2) (croissant)
Au vu du tableau de variations, on voit que f a un minimum en x=-2, qui vaut f(-2).
Il ne reste plus qu'à calculer f(-2):
[tex]f(-2)=\frac{(-2)^{2}+4 \times (-2)+3}{2 \times (-2)^{2}+8 \times (-2)+9}=\frac{4-8+3}{8-16+9}=\frac{-1}{1}=-1[/tex].
Donc le minimum de f sur Df est -1.
Exercice 3
1) [tex]lim_{h \mapsto 0}\frac{2h(\sqrt{h}-3)-0 }{h}=\lim_{h \mapsto 0} 2(\sqrt{h}-3)=-6=g'(0)[/tex]
Donc g est dérivable en 0 et g'(0)=-6.
2) Les fonctions [tex]x \mapsto 2x[/tex] et [tex]x \mapsto \sqrt{x}-3[/tex], sont dérivables sur ]0;+∞[. Donc g est dérivable sur ]0;+∞[, comme produit de deux fonctions dérivables sur ]0;+∞[.
Puisqu'on a prouvé à la question précédente, que g était dérivable en 0, alors g est dérivable sur l'intervalle [0;+∞[.
On calcule la dérivée g':
[tex]\displaystyle g'(x)=2(\sqrt{x}-3)+\frac{1}{2\sqrt{x}} \times 2=2\sqrt{x}-6+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x} (2\sqrt{x}-6)+1}{\sqrt{x}}\\g'(x)=\frac{2x-6\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}[/tex].