Réponse : Bonsoir,
1) Par lecture graphique, f'(1)=0, f'(5)=0, f'(2)=2.
Ceci signifie que f a une tangente horizontale aux points d'abscisses 1 et 5.
Puis une tangente de coefficient directeur 2 au point d'abscisse 2.
2) D'après ce qui précède, seul le schéma 2 correspond, car sur ce schéma, la courbe a bien une tangente horizontale aux points d'abscisses 1 et 5, et au point d'abscisse 2, la tangente est une droite croissante qui correspond au fait que f'(2)=2 >0, alors que sur le schéma 1, au point d'abscisse 2, la tangente est une droite décroissante, donc un coefficient directeur négatif, ce qui ne peut pas aller avec le fait que f'(2)=2>0.
Donc la représentation graphique de f est le schéma 2.
3)b) D'après la question 3)a), f(0)=-2, f(3)=0.
D'après la question 1), f'(1)=0, f'(5)=0.
Donc:
[tex]f(0)=-2 \Rightarrow a \times 0^{3}+b \times 0^{2}+c \times 0+d=-2 \Leftrightarrow d=-2.\\f(3)=0 \Rightarrow a \times 3^{3}+b \times 3^{2}+c \times 3-2=0 \Leftrightarrow 27a+9b+3c=2\\f'(x)=3ax^{2}+2bx+c\\f'(1)=0 \Rightarrow 3a \times 1^{2}+2b \times 1+c=0 \Leftrightarrow 3a+2b+c=0\\f'(5)=0 \Rightarrow 3a \times 5^{2}+2b \times 5+c=0 \Leftrightarrow 75a+10b+c=0[/tex].
On obtient un système de trois équations à trois inconnues a, b et c:
[tex]27a+9b+3c=2 \quad 27a+9b+3c=2\\3a+2b+c=0 \Rightarrow \; c=-3a-2b\\75a+10b+c=0 \quad 75a+10b-3a-2b=0 \\75a+10b-3a-2b=0 \Leftrightarrow 72a+8b=0 \Leftrightarrow 8b=-72a \Leftrightarrow b=-9a\\Donc \; c=-3a-2b=-3a-2(-9a)=-3a+18a=15a\\On \; a \; donc \; b=-9a \; et \; c=15a\\Donc \; 27a+9b+3c=0 \Leftrightarrow 27a+9(-9a)+3(15a)=0\\\Leftrightarrow 27a-81a+45a=2 \Leftrightarrow -9a=2 \Leftrightarrow a=-\frac{2}{9}\\Donc \; b=-9a=-9(-\frac{2}{9})=2, \; c=15a=15(-\frac{2}{9})=-\frac{10}{3}[/tex]