Bonjour ;
1.
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
Soit D(xD ; yD) .
Les ccordonnées du vecteur DC sont :
- 2 - xD et 3 - yD .
Les coordonnées du vecteur AB sont :
2 - 4 = - 2 et 5 - 1 = 4 .
ABCD est un parallélogramme si les coordonnées
des vecteurs AB et DC sont égales ;
donc on a : - 2 - xD = - 2 et 3 - yD = 4 ;
donc : - XD = 0 et - yD = 1 ;
donc : xD = 0 et yD = - 1 .
2.
Les coordonnées du vecteur AC sont :
- 2 - 4 = - 6 et 3 - 1 = 2 ;
donc : AC² = (- 6)² + 2² = 36 + 4 = 40 .
Les coordonnées du vecteur DB sont :
2 - 0 = 2 et 5 - (- 1) = 6 ;
donc : DB² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40 .
On a : DB² = AC² = 40 , donc les diagonales [DB] et [AC]
du parallélogramme ABCD sont de même longueur .
Le produit scalaire des vecteurs AC et DB est :
(- 6) * 2 + 2 * 6 = - 12 + 12 = 0 ;
donc les deux vecteurs sont orthogonaux ;
donc les deux diagonales [AC] et [DB] du parallélogramme
ABCD sont perpendiculaires .
Conclusion : Les diagonales du parallélogramme ABCD sont de
même longueur et perpendiculaires , alors ABCD est un carré .
3.
Les vecteurs AC et DB sont orthogonaux , donc les
vecteurs IA et IB sont aussi orthogonaux .
I est le milieu des diagoales de ABCD , donc les vecteurs
IA et IB ont la même norme .
Conclusion : Les vecteurs IA et IB sont orthogonaux et ont
même norme , donc le repère (I , IA , IB) est un repère orthonormé .
4.
Dans le repère (I , IA , IB) on a :
I(0 ; 0) , A(1 ; 0) , B(0 ; 1) , C(- 1 ; 0) et D(0 ; - 1) .
