Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
1)
a) f(0) = -1
f(2) = -3
f'(2) = 0
f'(0) = -3
b) f(x) = ax + b + 16/(x+2)
f(0) = 0x + b + 16/(0+2) = b + 8 et f(0) = -1 ⇔ b+8 = -1 ⇔ b= -9
f(2) = 2a -9 +16/(2+2) = 2a -9 +4 = 2a -5 et f(2) = -3 ⇔ 2a-5=-3 ⇔ a = 1
donc f(x) = x -9 + 16/(x+2)
2) a) f'(x) = 1 -16/(x+2)² = ((x+2)²-16)/(x+2)² = (x²+4x+4-16)/(x+2)² = (x²+4x-12)/(x+2)²
b)(x+2)² est positif, donc le signe de f'(x) dépend du signe de x²+4x-12
Δ = 64 ⇔ x1 = (-4-8)/2 = -6 et x2 = (-4+8)/2 = 2
x² +4x-12 est donc négatif entre -6 et 2,et positif en dehors
Donc sur [-1 ; 14] f'(x) est négative sur [-1 ; 2] et positive sur [2 ; 14]
Donc f(x) est décroissante sur [-1 ; 2] et croissante sur [2 ; 14]
c) Sur [-1 ; 2] , f'x) est continue et décroissante,à valeur sur [-3 ;6] .D'après le T.V.I, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur cet intervalle
Sur [2 ; 14] , f(x) est continue et croissante , à valeur sur [-3 ; 6]. D'après le T.V.I , l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur cet intervalle
Donc sur [2 ; 14] , l'équation f(x) = 0 admet 2 solutions ∝ et β
d) -0,28<∝<-0,27
7,27<β<7,28
e) En utilisant le tableau de variation, et les solutions à l'équation f(x) = 0 , on obtient : f(x) ≤ 0 sur [∝ ; β ]
f(x) ≥ 0 sur [-1 ; ∝]∪[β ; 14]
