Exercice 2
1. la fonction f est croissante sur les intervalles [-6;-2] et [3;9] et elle est décroissante sur l'intervalle [-2;3].
Son ensemble de définition est [-6;9]
2. Le minimum de f est -13,5 ; il est atteint pour x = 3.
La maximum de f est 22/3 ; il est atteint pour x = -2
3. La fonction f varie de -54 à 22/3, puis de 22/3 à -13,5 et enfin de -13,5 à 148,5. Elle coupe donc l'axe des abscisses 3 fois. donc le nombre de solution de l'équation f(x) = 0 est 3.
4. La fonction f est croissante sur l'intervalle [-6;-2], -5 et -4 appartiennent à cet intervalle est -5 < -4 donc f(-5) < f(-4)
5. a. Calculons la dérivée de f
f'(x) = 3x²/3 -2x/2 -6
f'(x) = x² - x - 6
Les sommets (ou extremum) de la fonction se trouvent pour les x vérifiant l'équation f'(x) = 0
Calcul de Δ
Δ = b²-4*a*c = 1²-4*1*-6 = 1+24 = 25 (* signifie multiplié par)
Δ > 0 , il existe 2 solutions à l'équation f'(x) = 0
x' = (-b-√Δ)/2a
x' = (1-√25)/2*1
x' = (1-5)/2
x' = -4/2
x' = -2
et
x" = (-b+√Δ)/2a
x" = (1+√25)/2*1
x" = (1+5)/2
x" = 6/2
x" = 3
On retrouve bien les valeurs particulières (-2 et 3) du tableau.
b. f(x) = 0
x³/3 -x²/2 - 6x = 0
x(x²/3 -x/2 -6) = 0
x(2x²-3x-6*6)/6 = 0
(2x²-3x-36)x/6 = 0
donc
x/6 = 0 ou 2x²-3x-36 = 0
x = 0 ou 2x²-3x-36 = 0
Calcul de Δ
Δ= b²-4ac = 9-4*2*-36 = 9+288 = 297
Δ> 0 , il existe 2 solutions à l'équation 2x²-3x-36 = 0
x' = (-b-√Δ)/2a
x' = (3-√297)/2*2
x' = (3-17.2)/4
x' = -3.6
et
x' = (-b+Δ)/2a
x' = (3+√297)/2*2
x" = (3-17.2)/4
x" = 5.1
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont :
S = {-3.6;0;5.1}
