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ANANGMANON59800VIZ
résolu

Bonjour, je suis bloqué pour mon DM de math pouvez vous m'aidez svp ?
Voici l'énoncé :
Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation (E): e^x=1/x admet une unique solution dans l'ensemble R des nombres réels et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

Partie A: existance et unicité de la solution
On note f la fonction définie sur R par : f(x)= x-e^-x

1) démontrer que x est solution de l'équation (E) si et seulement si f(x)=0.
2)a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R.
b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur R, notée alpha.
c. Démontrer que alpha appartient à l'intervalle [1/2;1] .
d. Étudier le signe de f sur l'intervalle [0;alpha].

Partie B deuxième approche
On note g la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par: g(x)= (1+x)/(1+e^x)

1) démontrer que l'équation f(x)=0 est équivalente à l'équation g(x)=x.
2) en déduire que alpha est l'unique réel vérifiant g(alpha)=alpha
3) calculer g'(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l'intervalle [0;alpha].

Partie C construction d'une suite de réels ayant pour limite alpha.
On considère la suite(Un) définie par U0=0 et, pour tout entier naturel n, par Un+1= g(Un)
1) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n: 0 2) en déduire que la suite (Un) est convergente. On admet que U converge vers alpha.
3)a. Écrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de U4.
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de U4, à 10^-6 près.

Merci d'avance de votre aide

Répondre :

Bonjour,
Partie A.
1) x est solution de (E)
⇔e^x=1/x
⇔x*e^x=1 (0 n'est pas solution)
⇔x*e^x*e^-x=e^-x
⇔x=e^-x
⇔x-e^-x=0
⇔f(x)=0

2a) f'(x)=1+e^(-x) >0 donc f est croissante sur IR
2b) f tend vers -∞ en -∞ et en +∞ en +∞ donc comme elle est monotone sur IR, f(x)=0 n'admet qu'une seule solution sur IR (f est bijective)
2c) f(1/2)=1/2-e^(-1/2)≈-0,1<0
f(1)=1-1/e≈0,6>0
Donc f admet une solution unique sur [1/2;1]
2d) f est croissante sur [0;α] et f(α)=0 donc ∀x∈[0;α] f(x)≤f(α)
Donc f <0 sur [0;α]

Partie B
1) f(x)=0
⇔x-e^-x=0
⇔x=e^-x
⇔xe^x=1
⇔x+xe^x=1+x
⇔x(1+e^x)=1+x
⇔x=(1+x)/(1+e^x)
⇔g(x)=x

2) Il existe un unique α tel que f(α)=0
Or f(α)=0 ⇔ g(α)=α

3) g'(x)=[(1+e^x)-(1+x)e^x]/(1+e^x)²
g'(x)=[(1-x)e^x]/(1+e^x)²
Le signe de g'(x) dépend de 1-x donc g'(x) ≥0 sur [-∞;1]
Or on sait que α<1 donc g est croissante sur [0;α]

Pour la partie C, il manque une partie de la question 1.
Complète pour qu'on puisse t'aider pour le reste.

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