la fonction est définie pour p>0 et 1-p >0 donc pour p dans ]0 ;1 [
phi ' (p) = -1ln(p) - p* 1/p + 1( p + ln(1-p) ) + (p -1)*( 1 + (-1) /(1-p) )
phi '(p) = -ln(p) - 1 + p + ln(1-p) + p -1 + 1 = - ln(p) + ln(1-p) +2p -1
phi '' (p) = - 1/p + (-1) / (1-p) + 2 = 1/ p + 1 /(p-1) + 2
= ( -p + 1 + p + 2p(p-1) ) /( p (p-1) )
= ( 2p² - 2p + 1) / ( p(p-1) )
signe de 2 p² - 2p +1 : delta = 4 - 8 <0
donc 2p² - 2 p +1 positif et comme p>0 et p-1<0
phi''(p) est négatif phi' est décroissante de + inf à - inf
l'équation phi'(p)= 0 admet une solution unique p = a
la fonction phi' est donc positive jusqu'à a puis négative
phi est croissante puis décroissante
