Bonjour,
Un bac à sable a une forme circulaire de rayon 3M. Il est entouré par une allée en forme de couronne de largeur x (ou x est un nombre réel positif exprimer en mètres). L'objectif est de déterminer la largeur de l'allée pour que celle-ci ait la même aire que celle du bac à sable.
1) Démontrer que le problème revient à chercher les nombre positifs x tel que (3+ x)²-18 = 0
Rappel formule aire :
A = π x Rayon²
Donc ;
A = π x 3²
A = π x 9
A = 9π
Rappel formule aire couronne :
A = Aire de la base et de la couronne) - Aire du bac
Donc :
A = π x (R + x)² - 9π
A = π x (3 + x)² - 9π
A = π x [(3 + x)² - 9]
Aire de la couronne = Aire du bac, soit :
A = π x [(3 + x)² - 9] = 9π
A = (3 + x)² - 9 = 9
A = (3 + x)² - 9 - 9 = 0
A = (3 + x)² - 18 = 0
2) Déterminer la largeur de l'allée répondant au problème.
(x + 3)² - 18 = 0 ------------- : V : signifie la racine carrée !
(x + 3)² - (√18)² = 0
(x + 3)² - (3√2)² = 0
(x + 3 + 3√2) (x + 3 - 3√2) = 0
x + 3 + 3√2 = 0
x = - 3 - 3√2
Impossible car valeur négative
Donc :
x + 3 - 3√2 = 0
x = 3√2 - 3
x = 3(√2 - 1)
x ≈ 1,24 m
La largeur de l'allée est d'environ : 1,24 mètres
