on peut essayer de résoudre l'équation cos(sinx)-sin(cosx) =0
s'il n'y a pas de solution ça voudrait dire que
le signe de cos(sinx)-sin(cosx) reste constant
or cos(sinx)-sin(cosx) =0 entraîne cos(sinx) = cos(pi/2 - cosx)
équation que l'on sait résoudre
sinx = pi/2 - cosx + 2kpi ou sinx = -pi/2 + cosx + 2kpi
c'est à dire
sinx + cosx = pi /2 + 2kpi ou sinx - cosx = - pi/2 + 2kpi
or on sait que sin( pi/4 + x ) = sin(pi/4)cosx + cos(pi/4)sinx
et que sin(x -pi/4) = sinxcos(pi/4) - cosxsin(pi/4)
et comme sin(pi/4)= cos(pi/4)= 1/ rac(2 ) on en déduit que
sin(pi/4 +x) = 1/rac2 ( cosx + sinx) = 1/rac2( pi /2 + 2kpi)
et que sin(x -pi/4) =1/rac2 ( sinx - cosx) = 1/rac2( -pi /2 + 2kpi)
la question est existe t_il une ou des valeurs de k entières telles que
1/rac2( pi /2 + 2kpi) ou 1/rac2( -pi /2 + 2kpi)
soit compris entre -1 et 1
or si -1 < 1/rac2( pi /2 + 2kpi) < 1 alors
-rac(2) < pi /2 + 2kpi < rac(2)
-rac(2) - pi /2 < 2kpi < rac(2) - pi /2
-rac(2) /(2pi) - 1/4 < k < rac(2)/(2pi) - 1/4
-0,225 - 0,25 < k < 0,225 - 0,25
-0,475 < k< -0,025 ce qui est impossible
de même si
-1 < 1/rac2( -pi /2 + 2kpi) < 1 alors
-rac(2) < -pi /2 + 2kpi < rac(2)
-rac(2) + pi /2 < 2kpi < rac(2) + pi /2
-rac(2) /(2pi) + 1/4 < k < rac(2)/(2pi) + 1/4
-0,225 + 0,25 < k < 0,225 + 0,25
0,025 < k< 0,475 ce qui est impossible également
conclusion
le signe de cos(sinx)-sin(cosx) reste constant
c'est le signe de cos(sin0) - sin(cos0)= cos(0) - sin(1)
comme cos(0)= 1 et que sin(1)<1 alors cos(0) - sin(1) est POSITIF
d'où
cos(sinx) SUPERIEUR à sin(cosx)
