Bonjour PrincesseIntouchable
1) a) Voir pièce jointe.
b) Selon le graphique, nous pourrions conjecturer que la hauteur maximale du poids est égale à 6 m et que la longueur du lancer est égale à 20 m
2) a) 6,05 - 0,05(x - 9)² = 6,05 - 0,05(x² - 2*x*9 + 9²) (* est le signe de la multiplication).
6,05 - 0,05(x - 9)² = 6,05 - 0,05(x² - 18x + 81)
6,05 - 0,05(x - 9)² = 6,05 - 0,05*x² + 0,05*18x - 0,05*81
6,05 - 0,05(x - 9)² = 6,05 - 0,05x² + 0,9x - 4,05
6,05 - 0,05(x - 9)² = -0,05x² + 0,9x - 4,05 + 6,05
6,05 - 0,05(x - 9)² = -0,05x² + 0,9x + 2
6,05 - 0,05(x - 9)² = h(x)
b) Pour tout réel x, (x - 9)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
-0,05(x - 9)² ≤ 0 car les deux membres de l'inégalité précédente ont été multiplié par le nombre négatif -0,05.
-0,05(x - 9)² + 6,05 ≤ 0 + 6,05 en ajoutant 6,05 aux deux membres de l'inégalité précédente.
6,05 - 0,05(x - 9)² ≤ 6,05 (réécriture de l'inégalité précédente)
h(x) ≤ 6,05
Puisque h(x) ≤ 6,05 pour tout x, nous en déduisons que la hauteur du poids est toujours inférieure ou égale à 6,05 m.
Par conséquent, la hauteur maximale du poids est égale à 6,05 m.
3) a) Longueur du lancer.
[tex]\dfrac{1}{20}(-x-2)(x-20) = 0,05(-x-2)(x-20) = -0,05(x+2)(x-20)\\\\=-0,05(x^2-20x+2x-40)=-0,05(x^2-18x-40)[/tex]
[tex]=-0,05x^2+0,05\times18x+0,05\times40\\\\=-0,05x^2+0,9x+2[/tex]
D'où [tex]\boxed{\dfrac{1}{20}(-x-2)(x-20) =h(x)}[/tex]
b) Le poids touchera le sol si la hauteur h(x) est nulle.
Résoudre h(x) = 0
[tex]\dfrac{1}{20}(-x-2)(x-20)=0\\\\(-x-2)(x-20)=0[/tex]
[tex]-x-2=0\ \ ou\ \ x-20=0\\\\x=-2\ \ ou\ \ x=20[/tex]
Puisque x ne peut pas être négatif, nous ne retiendrons que la valeur : x = 20.
D'où, le poids retouche le sol à 20 m.
Par conséquent, la longueur du lancer est égale à 20 mètres.
4) [tex]h(x)=\dfrac{1}{20}(-x-2)(x-20)[/tex]
x ∈ [0 ; 20] signifie 0 ≤ x ≤ 20
0 ≤ x ≤ 20 <===> -20 ≤ -x ≤ 0 <===> -20 - 2 ≤ -x - 2 ≤ 0 - 2
<===> -22 ≤ -x - 2 ≤ -2
Donc -x - 2 < 0
0 ≤ x ≤ 20 <===> 0 - 20 ≤ x -20 ≤ 20 - 20 <===> -20 ≤ x - 20 ≤ 0
Donc x - 20 ≤ 0
On en déduit que (-x - 2)(x - 20) ≥ 0 car c'est un produit de deux nombres négatifs.
Multiplions ce produit par 1/20.
[tex]\dfrac{1}{20}(-x-2)(x-20)\ge0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{si\ x\in[0;20],\ alors\ h(x)\ge0}[/tex]
