Bonjour,
Tu calcules le nombre dérivée en un point a de f(x) = sin(x)
[tex]f'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\\\
f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{sin(a+h)-sin(a)}{h}\\\\
f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{sin(a)cos(h)+cos(a)sin(h)-sin(a)}{h}\\\\
f'(x)= \lim_{h\to 0} \left(sin(a) \frac{cos(h)-1}{h}+cos(a) \frac{sin(h)}{h}\right)\\\\
f'(x)= \lim_{h\to 0} sin(a) \frac{cos(h)-1}{h}+\lim_{h\to 0}\cos(a) \frac{sin(h)}{h}\\\\
[/tex]
Or, sin(a) et cos(a) sont des constantes :
[tex]f'(x)=sin(a)\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}+cos(a)\lim_{h\to 0} \frac{sin(h)}{h}\\\\ [/tex]
[tex]sin(h)\ \textless \ h\ \textless \ tan(h)\\\\
\frac{1}{sin(h)}\ \textgreater \ \frac{1}{h}\ \textgreater \ \frac{1}{tan(h)}\\\\
1\ \textgreater \ \frac{sin(h)}{h}\ \textgreater \ cos(h)\\\\
\lim_{h\to 0}1=\lim_{h\to 0}cos(h)\\\\
\
[/tex]
D'après le théorème des Gendarmes :
[tex]\lim_{h\to 0} \frac{sin(h)}{h}=1 [/tex]
[tex]\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}\times \frac{cos(h)+1}{cos(h)+1}\\\\
\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{cos^2(h)-1}{h(cos(h)+1)} \\\\
\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{-sin^2(h)}{h(cos(h)+1)} \\\\
\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}= \lim_{h\to 0}\left( \frac{-sin(h)}{h}\times \frac{sin(h)}{cos(h)+1}\right)\\\\
\lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h}= 0
[/tex]
D'où :
[tex]f'(x) = sin(a)\times 0+cos(a)\times1\\
f'(x) = cos(a)[/tex]
Donc, pour tout x : la dérivée de sin(x) est cos(x)
je te laisse faire pareil pour la dérivée de cos(x)
