Bonjour,
Ex 1
1. Tu as une partie polynomiale (facile à primitiviser) et un terme de la forme 2/x² qui a comme primitive -2/x.
2. C'est de la forme n*u'(x)*u(x)^n où u est la fonction qui à x associe x²+1.
3. Primitive de exp(ax) : exp(ax)/a.
4. Trouve un coefficient pour faire apparaître du 6x au numérateur, puis c'est une primitive usuelle :
[tex]\frac{u'}{\sqrt u}[/tex]
5. x->3/x a une primitive : x->3ln(x).
Tu sais que exp(x)/(1+exp(x)) est de la forme f'/f et qu'une primitive est ln(1+exp(x)). Je te laisse trouver le coefficient qui va bien. Le exp(x/3) ne devrait pas te poser de problème.
6. Le mieux est de développer ton expression. Tu sais trouver une primitive pour x->exp(2x) et x->exp(x). Pour ce qui concerne x->x*exp(x), tu as une primitive qui est x->(x-1)*exp(x).
Ensuite, soit x un réel, on a :
[tex]f(x) = \frac{2e^x}{\left(3e^x+1\right)^2} = \frac 23 \times \frac{3e^x}{\left(3e^x+1\right)^2} [/tex]
Ce qui est de la forme -u'/u², on obtient une primitive F définie par
[tex]F(x) = -\frac 23 \times \frac{1}{3e^x+1}[/tex]
Tu dois ensuite trouver une constante à ajouter à cette expression pour trouver une primitive qui prend la valeur 1 en 0, pour cela tu calcules F(0) et tu en déduis cette primitive. On trouve une primitive x->F(x)+7/6.
Pour l'exercice 2 :
1. Poser X = ln(x) et résoudre l'équation en X puis en ln(x).
Tu trouves exp(-2) et exp(3).
2. Commence par passer le ln(x+5) à droite. Puis compose par la fonction exponentielle pour trouver une inégalité plus simple. Attention à ce que les valeurs dont on calcule le logarithme soient positives...
S = [-1 ; 1[
3. Tu peux commencer par simplifier le membre de gauche qui te donne ln(x(x-8)) = 2ln(3). Puis tu peux composer par la fonction exponentielle et résoudre normalement.
Une seule solution : 9.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
