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SONIABENMALLEMVIZ
résolu

Bonsoir, j besoin d'aide vraiment c urgent
Soit G=R* * R et * la loi dans G définie par (x,y) *(x',y')= (xx',xy'+ y)
1- montrer que (G,*) est un groupe non commutatif?

Répondre :

NOOTSVIZ
(G,*) abélien ?

Deux éléments dans G = R* x R  : (x1, y1) et (x2, y2).
(x1, y1) * (x2,y2) = (x1.x2, x1.y2 + y1)
(x2, y2) * (x1,y1) = (x2.x1, x2.y1 + y2)

x1.y2 + y1 =/= x2.y1 + y2
Ce n'est donc pas un groupe abélien.
Bonsoir,
1)La loi * est interne et partout définie
(car + et . le sont dans R)
2) le neutre est (1,0)
(x1,y1)*(x2,y2)=(x1,y1)
=>x1x2=x1=>x2=1
x1y2+y1=y1=>x1y2=0=>y2=0
3) la loi * est associative

[(x1,y1)*(x2,y2)]*(x3,y3)=(x1x2,x1y2+y1)*(x3,y3)
=(x1x2x3,x1x2y3+x1y2+y3)

(x1,y1)*[(x2,y2)*(x3,y3)]=(x1,y1)*(x2x3,x2y3+y2)
=(x1x2x3,x1(x2y3+y2)+y1)
=(x1x2x3,x1x2y3+x1y2+y1)

Tout (x,y) avec x=!=0 admet un symétrique
(x1,y1)*(x2,y2)=(1,0)
=>x1x2=1=>x2=1/x1
x1y2+y2=0=>y2=-y1/x1
(il faut donc que x1=!=0)
(G,*) est donc un groupe
pour la commutativité voir l'autre réponse.
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