1/ [tex](u_n)_n[/tex] est une suite croissante. C'est assez clair puisque chaque terme est obtenu à partir du précédent en rajoutant une inverse positive. Soit n un naturel non nul :
[tex]u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k}= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}=u_n+\frac{1}{n+1}[/tex]
Donc [tex]u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1}\ \textgreater \ 0 [/tex] et la suite est croissante.
2/ a) Soit [tex]k \leq x \leq k+1[/tex]
Dès lors, on a l'égalité suivante :
[tex] \frac{1}{k+1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{k}[/tex]
[tex]\frac{1}{k+1} \leq f(x)\leq \frac{1}{k}[/tex]
b) En reprenant où on en était, on peut appliquer le symbole d'intégrale sur l'intervalle donné puisqu'il y a conservation du sens prescrit :
[tex]\displaystyle\int_{k}^{k+1}\frac{1}{k+1}dx \leq \displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq \displaystyle\int_{k}^{k+1}\frac{1}{k}dx[/tex]
[tex](k+1-k)\frac{1}{k+1} \leq \displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq (k+1-k)\frac{1}{k}[/tex]
[tex]\frac{1}{k+1} \leq \displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq \frac{1}{k}[/tex]
c) La portion d'aire sous la courbe de f sur l'intervalle donné [k,k+1] est comprise entre l'inverse de k+1 et l'inverse de k. Autrement dit, plus on s'éloigne de 0 et plus l'aire sous la courbe est faible. Autrement dit, la fonction f tend vers 0 en l'infini positif (mais ça, on le savait déjà !)
3/ Il suffit de sommer les différents encadrements qu'on a obtenu et d'utiliser la relation de Chasles pour réduire :
- 1er encadrement :
[tex]\frac{1}{2} \leq \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx\leq \frac{1}{1}[/tex]
- nème encadrement :
[tex]\frac{1}{n+1} \leq \displaystyle\int_{n}^{n+1}f(x)dx\leq \frac{1}{n}[/tex]
On les somme tous ensemble (c'est possible car les encadrements sont dans le même sens) :
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1} \leq \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)dx+...+\displaystyle\int_{n}^{n+1}f(x)dx[/tex]
[tex] \leq 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}[/tex]
Donc on déduit avec Chasles au milieu et en reprenant les définitions de u_n et u_{n+1} :
[tex]u_{n+1}-1 \leq \displaystyle\int_{1}^{n+1}f(x)dx \leq u_n[/tex]
4/ On détermine cette intégrale :
[tex]\displaystyle\int_{1}^{n+1}f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx=\left[\ln(x)\right]_{1}^{n+1}=\ln(n+1)[/tex]
Tous les termes de la suite [tex](u_n)_n[/tex] étant positif, un seul côté de l'encadrement suffit pour conclure : comme on a la situation suivante,
[tex]\displaystyle\lim_{n\longrightarrow +\infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx \leq \lim_{n\longrightarrow +\infty}u_n[/tex]
On en tire :
[tex]\displaystyle\lim_{n\longrightarrow +\infty}\ln(n+1) \leq \lim_{n\longrightarrow +\infty}u_n[/tex]
Et donc :
[tex]+\infty \leq \displaystyle\lim_{n\longrightarrow +\infty}u_n[/tex]
Soit nécessairement : [tex]\displaystyle\lim_{n\longrightarrow +\infty}u_n=+\infty [/tex]
