Bonjour Emeliiine
I) Conjectures
1)a) Tableau de variations de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-2&&-1&&1&&2 \\f(x)&(0)&\nearrow&4&\searrow&0&\nearrow&(4)\\ \end{array}[/tex]
b) f est croissante sur l'ensemble ]-2 ; -1] U [1 ; 2[
f est décroissante sur l'intervalle [-1 ; 1]
2) a) [tex]f'(x)=3x^2-3[/tex]
Signe de la dérivée.
3x² - 3 = 0 ==> 3(x² - 1) = 0
==> x² - 1 = 0
==> x² = 1
==> x = 1 ou x = -1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-2&&-1&&1&&2 \\f'(x)=3x^2-3&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
b) f '(x) ≥ 0 si x ∈ ]-2 ; -1] U [1 ; 2[
f '(x) ≤ 0 si x ∈ [-1 ; 1]
Conjecture n°1 :
Si f '(x) ≥ 0 sur un ensemble, alors la fonction semble être croissante sur cet ensemble.
Si f '(x) ≤ 0 sur un ensemble, alors la fonction semble être décroissante sur cet ensemble.
3)a) f admet 0 comme minimum local.
Ce minimum est atteint pour x = 1.
b) f admet 4 comme maximum local.
Ce maximum est atteint pour x = -1.
Conjecture n°2 :
Il semble qu'un extremum existe pour une certaine valeur de x si la dérivée est nulle en cette valeur en changeant de signes autour de cette valeur.
II Application
1) a) La recette est donnée par R(x) = 25x
b) Bénéfice = recette - coût de fabrication.
B(x) = 25x - (x² - 35x + 500)
B(x) = 25x - x² + 35x - 500
B(x) = -x² + 60x - 500
2) a) B'(x) = -2x + 60
2b) Tableau
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&30&&60 \\Signe\ de\ B'(x)&&+&0&-&\\Variations\ de\ B&-500&\nearrow&400&\searrow&-500\\ \end{array}[/tex]
c) On peut espérer un bénéfice maximal de 400 €.
Ce bénéfice sera atteint en produisant 30 vases.
