Pour les courageux :D (Avec explications si possible , sauf si vous avez pas le temps ou la flemme ^^ )

En Inde , une légende vieille de 1500 ans raconte comment Brahmane du nom de Sessa fut recompensé pour avoir inventé le jeu d'échec .Le roi des Indes fut tant émerveillé lorsque Sessa lui appris le jeu que le roi lui proposa de choisir la récompense qu'il souhaitait .
La Brahmane demanda alors la quantité de grains de blé qu'il serait nécessaire pour remplir les 64 cases d'un échiquié en respectant la condition suivante , chaque case doit contenir deux fois plus de grains de blé que la précédente sachant que la première case ne contient qu'un seul grain .

Soit : 1 grain de blé sur la première case
2 grains sur la seconde
4 (soit 2x2) sur la 3eme
8 grains (soit 2x2x2) sur la quatrième etc ...

Le roi accepta la demmande de Sessa en se disant que celle ci était plutot modeste .
Mais lorsqu'un arithméticien résolut le problème , le roi se rendit compte que le Brahmane l'avait dupé et que la quantité de grains de blé qu'il demmandait était impossible a fournir .

1)a) Sur quelle case devrait - il y avoir 2(puissance3) grains ? 2(puissance8) grains ? 2(puissance 31) grains ?
b) Quelle quantité de grains est il nécessaire pour remplir tout l'échiquier ? Donner le résultat comme somme de puissances de 2 . On pourra utiliser des "..." pour ne pas écrire tous les termes .

2)a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies : 1+2=2²-1
1+2+2² = 2(puissance3)-1
1+2+2²+2(puissance3) = 2(puissance 4) -1.

b) Enfaite cette formule est vraie pour tout entier n : 1+2+2²+2(puissance3) +...+2(puissance n-1) = 2(puissance N) -1

c) En utilisant la calculatrice , en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l'échiquier . Donner le résultat en écriture scientifique .

d) En utilisant un ordinateur calculer exactement le nombres de grains pour remplir tout l'échiquier .

3) Dans 1m(puissance3), on peut ranger environ 1.5 millions de grains de blé . Le roi dispose d'un grand grenier de 5mètres de large sur 10 mètres de long . Quelle hauteur faut-il prévoir si l'on désir stocker la quantité de grains de blé que recevra Sessa ? Exprimer le résultat en km.

Comparer cette longueur à la longueur à la distance entre la terre et le soleil !!!

Mais l'histoire finit mal pour le brahmane . L'arithméticien du roi d'enfermer Sessa dans son propre piège en lui demmendant de compter lui-même les grains de blé .

4) Sachant qu'il faudra 6 mois pour compter 1m(puissance 3) , combien d'années lui faudrait - il pour dénombrer l'ensemble de sa récompense ?