Salut,
[tex]V_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n+1}} \ \textless \ =\ \textgreater \ V_{n-1} = \frac{2^{n-1}}{3^{(n-1) + 1}} = \frac{2^{n-1}}{3^{n}} = \frac{2^{n} * 1/2}{3^{n}} = \frac{1}{2} * \frac{2^{n}}{3^{n}} = V_{n-1} = \frac{1}{2} * (\frac{2}{3})^{n}[/tex]
On a :
[tex]V_{n-1} = \frac{1}{2} * (\frac{2}{3})^{n} \ \textless \ =\
\textgreater \ V_{2k-1} = \frac{1}{2} * (\frac{2}{3})^{2k} =
\frac{1}{2} * ((\frac{2}{3})^{2})^{k} = \frac{1}{2} * (\frac{4}{9}
)^{k}[/tex]
a)
[tex]V_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n+1}} \ \textless \ =\ \textgreater \ V_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{3^{(n+1)+1}} =\frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} = \frac{2^{n}*2}{3^{n}*3^{2}} = (\frac{2}{3}) ^{n}* \frac{2}{9} [/tex]
Ainsi :
[tex]V_{n+1} - V_{n} = (\frac{2}{3}) ^{n}* \frac{2}{9} - \frac{2^{n}}{3^{n+1}} = (\frac{2}{3}) ^{n}* \frac{2}{9} - \frac{1}{3} * (\frac{2}{3} )^{n} = - \frac{1}{9} * (\frac{2}{3} )^{n} [/tex]
Soit :
[tex]- \frac{1}{9} * (\frac{2}{3} )^{n} = - \frac{1}{3^{2}} * \frac{2^{n}}{3^{n}} = - \frac{2^{n}}{3^{2} * 3^{n}} = -\frac{2^{n}}{3^{n+2}} [/tex]
c) On a :
[tex]V_{n+1} - V_{n} = - \frac{2^{n}}{3^{n+2}} [/tex]
Mais :
[tex]\frac{2^{n}}{3^{n+2}} \ \textgreater \ 0 [/tex]
Donc
[tex]-\frac{2^{n}}{3^{n+2}} \ \textless \ 0[/tex]
Ainsi :
Vn+1 - Vn < 0 Donc (Vn) est décroissante sur n
d)
[tex] \frac{V_{n+1}}{V_{n}} = \frac{ (\frac{2}{3}) ^{n}* \frac{2}{9} }{ \frac{1}{3} * (\frac{2}{3} )^{n} } = \frac{2}{3} * (\frac{2}{3})^{n} = (\frac{2}{3})^{n+1}[/tex]
Or 2/3 est donc la raison de la suite (Vn), 2/3<1
Donc la suite est décroissante
Ce qui confirme l'observation à la question c).
Bonne soirée !
