Bonjour Laetitiaaleroy
[tex]1)\ ABCD\ est\ un\ parall\acute{e}logramme\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\\\Longleftrightarrow z_B-z_A=z_C-z_D\\\\\Longleftrightarrow (1+5i)-(2+i)=z_C-5\\\\\Longleftrightarrow -1+4i=z_C-5\\\\\Longleftrightarrow \boxed{z_C=4+4i}[/tex]
Par conséquent, l'affixe du point C est [tex]\boxed{z_C=4+4i}[/tex]
2) a) Graphique en pièce jointe.
[tex]b)\ \overrightarrow{BE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\Longleftrightarrow z_E-z_B=-\dfrac{1}{2}(z_A-z_B)\\\\\Longleftrightarrow z_E-(1+5i)=-\dfrac{1}{2}[(2+i)-(1+5i)]\\\\\Longleftrightarrow z_E-1-5i=-\dfrac{1}{2}(1-4i)\\\\\Longleftrightarrow z_E-1-5i=-\dfrac{1}{2}+2i\\\\\Longleftrightarrow z_E=-\dfrac{1}{2}+2i+1+5i\\\\\Longleftrightarrow\boxed{z_E=\dfrac{1}{2}+7i}[/tex]
Par conséquent, l'affixe du point E est [tex]\boxed{z_E=\dfrac{1}{2}+7i}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}\Longleftrightarrow z_F-z_A=3(z_D-z_A)\\\\\Longleftrightarrow z_F-(2+i)=3[5-(2+i)]\\\\\Longleftrightarrow z_F-(2+i)=3(5-2-i)\\\\\Longleftrightarrow z_F-2-i=3(3-i)\\\\\Longleftrightarrow z_F-2-i=9-3i\\\\\Longleftrightarrow \boxed{z_F=11-2i}[/tex]
Par conséquent, l'affixe du point F est [tex]\boxed{z_F=11-2i}[/tex]
3) Les points C, E et F sont alignés si [tex]\arg(\dfrac{z_{\overrightarrow{CE}}}{z_{\overrightarrow{CF}}})=0[\pi][/tex]
Or
[tex]\dfrac{z_{\overrightarrow{CE}}}{z_{\overrightarrow{CF}}}=\dfrac{z_E-z_C}{z_F-z_C}=\dfrac{(\dfrac{1}{2}+7i)-(4+4i)}{(11-2i)-(4+4i)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+7i-4-4i}{11-2i-4-4i}\\\\\\\dfrac{z_{\overrightarrow{CE}}}{z_{\overrightarrow{CF}}}=\dfrac{-3,5+3i}{7-6i}=\dfrac{-(3,5-3i)}{2(3,5-3i)}\\\\\\\dfrac{z_{\overrightarrow{CE}}}{z_{\overrightarrow{CF}}}=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Puisque [tex]\arg(-\dfrac{1}{2})=\pi[2\pi][/tex], nous avons bien montré que [tex]\arg(\dfrac{z_{\overrightarrow{CE}}}{z_{\overrightarrow{CF}}})=0[\pi][/tex]
Par conséquent, les points C, E et F sont alignés.
