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MISSDAPBIJOUVIZ
résolu

S'il vous plait d'aide, j'essaye mais je ne comprend pas merci d'avance.
Questions :
1. Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que :P(x+1) - P(x) =2x et P(0)=0
2. En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nul :
S=2+4+...+2n
3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

J'ai commencé la question 1 mais je n'arrive pas à faire la suite je sais que la réponse est P(x)= x^2-x.
J'ai trouvé :
P(x+1)=a(x+1)^2 + b(x+1) + c
P(x)= ax^2 + bx + c
Donc : P(x+1) - P(x) =2x
a(x+1)^2 + b(x+1) + c - ax^2 - bx - c=2x
a (x^2 +2x + 1 ) + bx + b + c -ax^2 -bx-c=2x
ax^2 +2ax + a +b -ax^2=2x
2ax + a + b =2x
Après je n'arrive pas.
Merci d'avance si vous m'aidez à comprendre.

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour, P(x+1) = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c). P(x) = ax^2 + bx + c. P(x+1) - P(x) = 2ax + (a+b). On veut P(x+1) - P(x) = 2x. Donc a=1 et a+b=0, soit b=-1. De plus P(0) = 0 ==> c = 0. Donc P(x) = x^2 - x. 2) P(n) = n^2 - n = n(n-1). Et P(n+1) = n^2 + n = n(n+1). 2 = P(2) - P(1). 4 = P(3) - P(2)..... 2(n-1) = P(n) - P(n-1). Et 2n = P(n+1) - P(n). D'où S = 2 + 4 + ... ÷ 2n = P(n+1) - P(1) = n(n+1) - 0 = n(n+1). 3) S = 2 + 4 + ... + 2n = 2 (1 + 2 + ...+ n) = 2 x Sn ==> Sn = S/2 = n(n+1) / 2
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