Salut!
Soit H la projection orthogonale de M sur l'axe des abscisses. Les coordonnées de M sont alors (OH; HM).
On sait que ON = 10. En effet, dans le triangle OMN rectangle en M, OM²+MN²=ON² calcul simple.
Soit α l'angle formé par les demi-droites OM et ON.
Dans le triangle OMN rectangle en M, on a cos α = OM/ON
Or, dans le triangle OMH rectangle en H, on a cos α = OH/OM
On égalise :
OM/ON = OH/OM donc OH = OM² / ON = 64/10 = 6,4
Pour trouver HM au choix : soit Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H qui donne OM²+MH²=OH², soit
sin α = MN/ON = MH/OM donc MH = (MN/ON)x OM = (6/10) x 8 = 4,8
On obtient donc les coordonnées du point M (6,4 ; 4,8)
Pour P, par symétrie comme OMNP est un rectangle donc ON est une diagonale et que ON est sur l'axe des abscisses (là...peut être par symétrie centrale autour du point milieu de ON qui est le centre du cercle circonscrit au triangle...Il faudrait prendre un peu plus de temps) n'empêche que l'ordonnée de P est l'opposée de celle de M donc y(P) = - 4,8
et HN = OP' en posant P' la projection orthogonale de P sur ON
Or HN = ON - OH = 10 - 6,4 = 3,6
P (3,6 ; -4,8)
Revois les calculs!
