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Salut Didine!
1) La figure.
2) K est sur la médiatrice de [AB], qui est une droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à l'axe des abscisse, donc son équation est du type x= constante, puisque y peut prendre toutes les valeurs sans changer la valeur de x.
Cherchons combien vaut cette constante, que je vais appeler xK (x indice K en vérité).
xK = (xA+xB)/2 = (1+4)/2=5/2, l'équation de la médiatrice Δ est x = 5/2 et xK=5/2.
De plus, la perpendiculaire en C à l'axe des ordonnées coupe la droite delta en K, donc K est sur une droite d'équation y = constante, le point C appartient à cette droite donc on a forcément y = yC = 2, et donc yK = 2.
Les coordonnées du point K sont donc : K (5/2 ; 2)
3) cercle C
a) C est le cercle de centre K passant par A, donc un rayon de ce cercle est [AK] . Or, comme K est sur la médiatrice de [AB], alors on a AK = BK (en distance), donc [BK] est également un rayon du cercle C et donc B appartient à ce cercle.
b) L'axe des ordonnées est tangent au cercle C au point C uniquement si le point C appartient également au cercle C, donc [KC] doit être un rayon aussi et la distance KC doit être égale à AK ou à BK.
Calculons AK :AK = √{ (xK - xA)² + (yK - yA)²} = √{ (5/2 - 2/2)²+(2-0)²}
AK = √( 9/4 + 4) = √ (25/4) = 5/2
Calculons maintenant CK = = √{ (xK - xC)² + (yK - yC)²} = √{ (5/2 - 0)²+(2-2)²} = √ (25/4) = 5/2
On a bien CK=AK donc le point C est sur le cercle C et appartient également à l'axe des ordonnées puisque son abscisse est nulle.
Par conséquent, l'axe des ordonnée est tangent au cercle C au point C.
1) La figure.
2) K est sur la médiatrice de [AB], qui est une droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à l'axe des abscisse, donc son équation est du type x= constante, puisque y peut prendre toutes les valeurs sans changer la valeur de x.
Cherchons combien vaut cette constante, que je vais appeler xK (x indice K en vérité).
xK = (xA+xB)/2 = (1+4)/2=5/2, l'équation de la médiatrice Δ est x = 5/2 et xK=5/2.
De plus, la perpendiculaire en C à l'axe des ordonnées coupe la droite delta en K, donc K est sur une droite d'équation y = constante, le point C appartient à cette droite donc on a forcément y = yC = 2, et donc yK = 2.
Les coordonnées du point K sont donc : K (5/2 ; 2)
3) cercle C
a) C est le cercle de centre K passant par A, donc un rayon de ce cercle est [AK] . Or, comme K est sur la médiatrice de [AB], alors on a AK = BK (en distance), donc [BK] est également un rayon du cercle C et donc B appartient à ce cercle.
b) L'axe des ordonnées est tangent au cercle C au point C uniquement si le point C appartient également au cercle C, donc [KC] doit être un rayon aussi et la distance KC doit être égale à AK ou à BK.
Calculons AK :AK = √{ (xK - xA)² + (yK - yA)²} = √{ (5/2 - 2/2)²+(2-0)²}
AK = √( 9/4 + 4) = √ (25/4) = 5/2
Calculons maintenant CK = = √{ (xK - xC)² + (yK - yC)²} = √{ (5/2 - 0)²+(2-2)²} = √ (25/4) = 5/2
On a bien CK=AK donc le point C est sur le cercle C et appartient également à l'axe des ordonnées puisque son abscisse est nulle.
Par conséquent, l'axe des ordonnée est tangent au cercle C au point C.
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