Bonjour,
Le but d'une suite auxiliaire est d'obtenir une suite géométrique dont on connait la forme explicite pour trouver la forme explicite de la suite initiale.
On pose Vn = aUn + b, soit Un=(Vn -b)/a
Et on veut Vn+1 = qVn
Vn+1 = aUn+1 + b
= a(-1/4Un + 3) + b
= -a/4 Un + 3a + b
= -a/4 (Vn -b)/a + 3a + b
= -1/4 Vn + b/4 + 3a + b
= -1/4 Vn + (5b+12a)/4
Pour que Vn+1=qVn
il faut : 5b+12a=0 soit b=-12/5 a
SI on choisit a=1 ==> b=-12/5
Donc Vn = Un - 12/5
Soit Vn+1 = Un+1 - 12/5
= -1/4 Un + 3 - 12/5
= -1/4 Un + 3/5
= -1/4 (Un - 12/5)
= -1/4 Vn
==> Vn = V0 x (-1/4)^n avec V0 = U0 -12/5
et Un = (Vn - b)/a = Vn + 12/5 = (U0-12/5)x(-1/4)^n + 12/5
