Bonjour
Lenagoulard1
Figure en pièce jointe.
1) La longueur totale est de 160 m ==> AD + AB + BC = 160
AD = BC = 25 m
D'où : 25 + AB + 25 = 160
AB + 50 = 160
AB = 160 - 50
AB = 110
Par conséquent, la longueur de la baignade est de 110 m.
Aire de la baignade = 110 * 25 = 2750
L'aire de la baignade est alors égale à 2750 m².
2) a) Soit AD = x
Une distance n'est jamais négative ==> x ≥ 0.
De plus, AD + AB + BC = 160
x + AB + x = 160
AB + 2x = 160
AB = 160 - 2x
Or la distance AB n'est pas négative ==> 160 - 2x ≥ 0
160 ≥ 2x
2x ≤ 160
x ≤ 160/2
x ≤ 80
Par conséquent, 0 ≤ x ≤ 80.
b) La longueur de la baignade est AB = 160 - 2x (voir précédemment)
c) Aire de la zone.
A(x) = AD * AB
L'aire de la zone de baignade est A(x) = x(160 - 2x)
3) Valeur de x telle que A(x) soit maximal.
A(x) = x(160 - 2x)
= 160x - 2x²
= -2x² + 160x
= -2(x² - 80x)
= -2[(x² - 80x + 1600) - 1600]
= -2[(x - 40)² - 1600]
= -2(x - 40)² + 2 * 1600
= -2(x - 40)² + 3200.
Donc A(x) = -2(x - 40)² + 320
Or (x - 40)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
-2(x - 40)² ≤ 0 en multipliant l'inégalité précédente par -2 < 0
-2(x - 40)² + 3200 ≤ 3200 en ajoutant 3200 aux deux membres de l'inégalité.
D'où A(x) ≤ 3200.
Or si x = 40, A(x) = -2(40 - 40)² + 3200
A(x) = 0 + 3200
A(x) = 3200
On en déduit que pour tout x vérifiant 0 ≤ x ≤ 80, A(x) ≤ 3200 et que A(x) = 3200 pour x = 40.
Par conséquent, l'aire maximale de la zone de baignade sera maximale pour x = AD = 40 m, cette aire maximale étant égale à 3200 m².
