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résolu

Bonjour , je n'arrive pas cet exercice sur les vecteurs ( je hais les vecteurs , et eux aussi ;) )
ABC est un triangle non aplati.
On considère les points D et E tels que vecteurBD =2vecteurAC+ [tex] \frac{1}{2} [/tex]
vecteurAB et vecteurEC = [tex] \frac{3}{2} [/tex] vecteurBC - [tex] \frac{5}{2} [/tex] vecteurAB

1)Faire une figure(ça ,c'est bon )
2)Montrer que (vecteurAB ; vecteurAC ) est une base
3)Décomposer les vecteurs BC et DE dans cette base
4)Déduire les coordonnées des vecteurs BC et DE cette base
5) Montrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles

Merci d'avance :)

Répondre :

Bonjour Yonah1

1) Figure en pièce jointe.

2) [tex](\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})[/tex]  est une base car les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}\ et\ \overrightarrow{AC}[/tex] sont non nuls et non colinéaires puisque le triangle ABC n'est pas aplati.

[tex]3)\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\\\\boxed{\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}\\\\\overrightarrow{DE}=(-2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC}+(-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AB})\\\\\overrightarrow{DE}=(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AB})-2\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BC}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC})[/tex]

[tex]\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}[/tex]

[tex]\boxed{\overrightarrow{DE}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}}[/tex]

4) Coordonnées : 

[tex]\boxed{\overrightarrow{BC}:(-1,1)\ \ et\ \ \overrightarrow{DE}:(\dfrac{5}{2};-\dfrac{5}{2})}[/tex]

5) Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}\ \ et\ \ \overrightarrow{DE}[/tex]  sont colinéaires.
En effet, montrons que leur déterminant est nul.

[tex](-1)\times(-\dfrac{5}{2})-1\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=\boxed{0}[/tex]

Puisque les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}\ \ et\ \ \overrightarrow{DE}[/tex]  sont colinéaires, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Voir l'image АНОНИМ
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