Bonjour Capucinne
[tex]\sqrt{x^2+6x+8}\ \textless \ \sqrt{x^2+6x+11}-1\\\\Conditions : \left\lbrace\begin{matrix}x^2+6x+8\ge0\\x^2+6x+11\ge0 \endmatrix}\\\\\\\\x^2+6x+8\ge0\\\Delta=6^2-4\times1\times8=36-32=4\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{2}=\dfrac{-6-2}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{2}=\dfrac{-6+2}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-4&&-2&&+\infty\\x^2+6x+8&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\x^2+6x+8\ge0\Longleftrightarrow\boxed{x\in]-\infty;-4]\cup[-2;+\infty[}[/tex]
[tex]x^2+6x+11=0\\\Delta=6^2-4\times11\times11=36-44=-8\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{x^2+6x+11\ \textgreater \ 0\ pour\ tout\ x\ r\acute{e}el} [/tex]
D'où les conditions sur x sont : [tex]\boxed{x\in]-\infty;-4]\cup[-2;+\infty[}[/tex]
Résolution de l'inéquation proprement dite :
[tex]\sqrt{x^2+6x+8}\ \textless \ \sqrt{x^2+6x+11}-1\\\\\sqrt{x^2+6x+8}+1\ \textless \ \sqrt{x^2+6x+11}\\\\x^2+6x+8+2\sqrt{x^2+6x+8}+1\ \textless \ x^2+6x+11\\\\2\sqrt{x^2+6x+8}+1\ \textless \ x^2+6x+11-x^2-6x-9\\\\2\sqrt{x^2+6x+8}+1\ \textless \ 2\\\\\sqrt{x^2+6x+8}+1\ \textless \ 1\\\\x^2+6x+8\ \textless \ 1\\\\x^2+6x+7\ \textless \ 0\\\Delta=6^2-4\times1\times7=36-28=8\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-6-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-3-\sqrt{2})}{2}=-3-\sqrt{2}\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-6+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-3+\sqrt{2})}{2}=-3+\sqrt{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-3-\sqrt{2}&&-3+\sqrt{2}&&+\infty\\x^2+6x+7&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\x^2+6x+7\ \textless \ 0\Longleftrightarrow\boxed{x\in]-3-\sqrt{2};-3+\sqrt{2}[}[/tex]
Or les conditions sur x sont : [tex]\boxed{x\in]-\infty;-4]\cup[-2;+\infty[}[/tex].
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-3-\sqrt{2}\ ;\ -4]\cup[-2\ ;\ -3+\sqrt{2}[}[/tex]
