Bonsoir ;
1)a) f est définie si [tex] e^{x} -x \neq 0[/tex] .
Soit la fonction u définie sur [0;+∞[ telle que ∀x∈[0;+∞[ : u(x)=[tex] e^{x} -x [/tex] ,
on a : u'(x)=[tex] e^{x} -1 [/tex] et comme on a x>0 donne [tex] e^{x} >1 [/tex]
donc [tex] e^{x} -1>0 [/tex] donc ∀x∈ ]0;+∞[ : u'(x)>0 donc u est strictement croissante sur ]0;+∞[ donc ∀x>0 : u(x)>u(0)=1 donc ∀x∈[0;+∞[ : u(x)≥1>0 ,
donc ∀x∈[0;+∞[ : u(x)≠0 donc ∀x∈[0;+∞[ f est définie , donc l'ensemble de définition de f est [0;+∞[ .
1)b) on a :
[tex]f(x)= \frac{ e^{x}-1}{ e^{x} -x} =\frac{ e^{x}- e^{x} e^{-x} }{ e^{x} -xe^{x} e^{-x} } [/tex]
[tex] =\frac{ e^{x}(1- e^{-x} ) }{ e^{x}(1-x e^{-x} )} = \frac{ 1- e^{-x} }{ 1-x e^{-x} }[/tex]
donc [tex] \lim_{x \to +\infty} f(x)=1 [/tex] ,
donc la droite D d'équation y=a est une asymptote horizontale à Cf au voisinage de +∞ .
