Bonjour
Alban8282,
1) Suivant la construction, nous déduisons qu'à une certaine étape, la longueur de chaque côté est égale au tiers de la longueur d'un côté de l'étape précédente.
Notons [tex]L_n[/tex] la longueur d'un côté à l'étape n.
alors,
[tex]L_0=1\\\\L_1=\dfrac{1}{3}\\\\L_2=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=(\dfrac{1}{3})^2\\\\L_3=\dfrac{1}{3}\times(\dfrac{1}{3})^2=(\dfrac{1}{3})^3\\\\\Longrightarrow\boxed{L_n=(\dfrac{1}{3})^n}[/tex]
De même,
Suivant la construction, nous déduisons qu'à une certaine étape, le nombre de côtés est égal à 4 fois le nombre de côtés de l'étape précédente.
Notons [tex]C_n[/tex] le nombre de côtés à l'étape n.
alors,
[tex]C_0=3\\\\C_1=4\times3\\\\C_2=4\times(4\times3)=4^2\times3\\\\C_3=4\times(4^2\times3)=4^3\times3\\\\\\\Longrightarrow\boxed{C_n=4^n\times3}[/tex]
2) Périmètre Pn de la figure à l'étape n.
[tex]P_n=L_n\times C_n\\\\P_n=(\dfrac{1}{3})^n\times4^n\times3\\\\P_n=\dfrac{1}{3^n}\times4^n\times3\\\\P_n=\dfrac{4^n}{3^n}\times3\\\\\boxed{P_n=3\times(\dfrac{4}{3})^n}[/tex]
[tex]3)\ P_{10}=3\times(\dfrac{4}{3})^{10}\approx56,2371799\\\\P_{50}=3\times(\dfrac{4}{3})^{50}\approx5297342,89\\\\P_{100}=3\times(\dfrac{4}{3})^{100}\approx9,35\times10^{12}[/tex]
Nous remarquons que plus n augmente, plus la longueur du périmètre augmente.
Nous pouvons conjecturer que le périmètre tend vers l'infini si le nombre d'étapes tend vers l'infini.
