Bonjour Cheyenne2516
Exercice 3
Soit (Pn) la proposition : [tex]v_n=n(n+1)[/tex]
Initialisation : Montrons que (P0) est vraie.
D'une part, [tex]v_0=0[/tex]
D'autre part, si nous appliquons (Pn) pour n = 0, ,nous avons : [tex]v_0=0\times(0+1)=0[/tex]
Puisque les valeurs de [tex]v_0[/tex] sont égales, l'initialisation est vraie.
Hérédité : Si pour une valeur entière naturelle n, (Pn) est vraie,
Alors montrons que [tex](P_{n+1})[/tex] est également vraie.
ce qui revient à dire :
Si pour une valeur entière naturelle n, nous avons [tex]v_n=n(n+1)[/tex],
Alors montrons que [tex]v_{n+1}=(n+1)(n+1+1)[/tex], soit que [tex]v_{n+1}=(n+1)(n+2)[/tex]
En effet,
[tex]v_{n+1}=v_n+2n+2\\\\v_{n+1}=n(n+1)+2n+2\\\\v_{n+1}=n(n+1)+2(n+1)\\\\\boxed{v_{n+1}=(n+1)(n+2)}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout entier naturel n, [tex]\boxed{v_n=n(n+1)}[/tex]
Exercice 4
Soit (Pn) la proposition : [tex]u_n=3-2^{n+1}[/tex]
Initialisation : Montrons que (P0) est vraie.
D'une part, [tex]u_0=1[/tex]
D'autre part, si nous appliquons (Pn) pour n = 0, ,nous avons : [tex]u_0=3-2^{0+1}=3-2^{1}=3-2=1\Longrightarrow u_0=1[/tex]
Puisque les valeurs de [tex]u_0[/tex] sont égales, l'initialisation est vraie.
Hérédité : Si pour une valeur entière naturelle n, (Pn) est vraie,
Alors montrons que [tex](P_{n+1})[/tex] est également vraie.
ce qui revient à dire :
Si pour une valeur entière naturelle n, nous avons [tex]u_n=3-2^{n+1}[/tex]?
Alors montrons que [tex]u_{n+1}=3-2^{n+1+1}[/tex], soit que [tex]u_{n+1}=3-2^{n+2}[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=2u_n-3\\\\u_{n+1}=2(3-2^{n+1})-3\\\\u_{n+1}=2\times3-2\times2^{n+1}-3\\\\u_{n+1}=6-2^1\times2^{n+1}-3\\\\u_{n+1}=(6-3)-2^{1+n+1}\\\\u_{n+1}=6-2^1\times2^{n+1}-3\\\\\boxed{u_{n+1}=3-2^{n+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout entier naturel n, [tex]\boxed{u_n=3-2^{n+1}}[/tex]
