Bonjour
Mteggar01
Le repère (A, B, D) du plan peut également se noter [tex](A,\ \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})[/tex]
1) a) Coordonnées de C et de O :
[tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\\\\overrightarrow{AC}=\boxed{1}.\overrightarrow{AB}+\boxed{1}.\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point C sont (1 ; 1)
[tex]\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\\\\\overrightarrow{AO}=\boxed{\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+\boxed{\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point O sont (1/2 ; 1/2).
[tex]b)\ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}\\\\\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{AP}=(1+\dfrac{1}{2})\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{AP}=\boxed{\dfrac{3}{2}}\overrightarrow{AB}+\boxed{0}\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point P sont (3/2 ; 0)
[tex]\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}\\\\\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CQ}\\\\\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\\\\\overrightarrow{AQ}=\boxed{1}.\overrightarrow{AB}+\boxed{\dfrac{3}{2}}\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point Q sont (1 ; 3/2)
[tex]\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DR}\\\\\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\\\\\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\\\\\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{AR}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\\\\overrightarrow{AR}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+\boxed{1}.\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point R sont (-1/2 ; 1)
[tex]\overrightarrow{AS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}\\\\\overrightarrow{AS}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\\\overrightarrow{AS}=\boxed{0}.\overrightarrow{AB}\boxed{-\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où, les coordonnées du point R sont (0 ; -1/2).
[tex]2)\ \overrightarrow{PQ}\ :\ (x_Q-x_P;y_Q-y_P)=(1-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}-0)=(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\ :\ (-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2})}\\\\\\\overrightarrow{SR}\ :\ (x_R-x_S;y_R-y_S)=(-\dfrac{1}{2}-0;1+\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{SR}\ :\ (-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2})}[/tex]
D'où [tex]\boxed{\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}}[/tex]
Par conséquent, le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
