Bonjour
Alexiavieilly
G est le symétrique de C par rapport à B <===> [tex]\boxed{\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{BC}}[/tex]
De plus
[tex]\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}\\\\Or\ \ \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\Donc\ \ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\\\\boxed{\overrightarrow{CE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}}[/tex]
Démontrons l'égalité 1) -- 2ème point en utilisant la relation de Chasles.
[tex]\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CE}\\\\\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\\\\\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})\\\\\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\\\\\overrightarrow{GE}=2\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}[/tex]
[tex]\overrightarrow{GE}=(2-\dfrac{2}{3})\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\\\\\overrightarrow{GE}=(\dfrac{6}{3}-\dfrac{2}{3})\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\\\\\boxed{\overrightarrow{GE}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}}[/tex]
