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Bonjour ;
Exercice n° 4 :
1) (x - 2)(x + 6) = x² + 6x - 2x - 12 = x² + 4x - 12 = f(x) .
f(x) = x² + 4x - 12 = x² + 4x + 4 - 16 = (x + 2)² - 16 .
2)
a) La courbe de f est une parabole , et comme le coefficient
de x² est égal à 1>0 , donc le sommet de la parabole est un minimum .
Pour déterminer ce sommet , on utilise l'expression : f(x) = (x + 2)² - 16 qui est minimale si (x + 2)² = 0 , donc si x + 2 = 0 , donc si x = - 2 .
le minimum est : f(-2) = - 16 .
x - ∞ - 2 + ∞
-------------------------------------------------------------------------------------
+ ∞ + ∞
\ /
\ /
f(x) \ /
-16
b) f(0) = 0 : on utilise l'expression f(x) = x² + 4x - 12 .
f(- 2) = - 16 : on utilise l'expression f(x) (x + 2)² - 16 .
f(2) = 0 : on utilise l'expression f(x) = (x - 2)(x + 6) .
c) f(x) = 0 : on utilise l'expression f(x) = (x - 2)(x + 6) .
f(x) = 0 donc (x - 2)(x + 2) = 0 donc x - 2 = 0 ou x + 6 = 0
donc x = 2 ou x = - 6.
f(x)≥ 0 : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 et f(x) = (x - 2)(x + 6) .
x - ∞ - 6 2 + ∞
------------------------------------------------------------------------------------------
f(x) + 0 - 0 +
donc f(x) ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; - 6] ∪ [ 2 ; + ∞ [ .
f(x) > x² : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 .
f(x) > x² donc x² + 4x - 12 > x² donc 4x - 12 > 0 donc 4x > 12 donc x > 3 .
f(x) < 4x + 4 : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 .
f(x) < 4x + 4 donc x² + 4x - 12 < 4x + 4 donc x² < 16 donc |x| < 4
donc x ∈ ] - 4 ; 4 [ .
Exercice n° 3 :
1) g(x) = - 5 donc - 3x² - 6x - 5 = - 5 donc - 3x² - 6x = 0
donc - 3x(x + 2) = 0 donc x = 0 ou x + 2 = 0
donc x = 0 ou x = - 2 .
L'abscisse du sommet est : (0 + (- 2))/2 = - 1 .
2) g(- 1) = - 3 + 6 - 5 = 2 .
x - ∞ - 1 + ∞
------------------------------------------------------------------------------------------
2
/ \
/ \
g(x) / \
/ \
- ∞ - ∞
Exercice n° 4 :
1) (x - 2)(x + 6) = x² + 6x - 2x - 12 = x² + 4x - 12 = f(x) .
f(x) = x² + 4x - 12 = x² + 4x + 4 - 16 = (x + 2)² - 16 .
2)
a) La courbe de f est une parabole , et comme le coefficient
de x² est égal à 1>0 , donc le sommet de la parabole est un minimum .
Pour déterminer ce sommet , on utilise l'expression : f(x) = (x + 2)² - 16 qui est minimale si (x + 2)² = 0 , donc si x + 2 = 0 , donc si x = - 2 .
le minimum est : f(-2) = - 16 .
x - ∞ - 2 + ∞
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+ ∞ + ∞
\ /
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f(x) \ /
-16
b) f(0) = 0 : on utilise l'expression f(x) = x² + 4x - 12 .
f(- 2) = - 16 : on utilise l'expression f(x) (x + 2)² - 16 .
f(2) = 0 : on utilise l'expression f(x) = (x - 2)(x + 6) .
c) f(x) = 0 : on utilise l'expression f(x) = (x - 2)(x + 6) .
f(x) = 0 donc (x - 2)(x + 2) = 0 donc x - 2 = 0 ou x + 6 = 0
donc x = 2 ou x = - 6.
f(x)≥ 0 : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 et f(x) = (x - 2)(x + 6) .
x - ∞ - 6 2 + ∞
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f(x) + 0 - 0 +
donc f(x) ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; - 6] ∪ [ 2 ; + ∞ [ .
f(x) > x² : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 .
f(x) > x² donc x² + 4x - 12 > x² donc 4x - 12 > 0 donc 4x > 12 donc x > 3 .
f(x) < 4x + 4 : on utilise f(x) = x² + 4x - 12 .
f(x) < 4x + 4 donc x² + 4x - 12 < 4x + 4 donc x² < 16 donc |x| < 4
donc x ∈ ] - 4 ; 4 [ .
Exercice n° 3 :
1) g(x) = - 5 donc - 3x² - 6x - 5 = - 5 donc - 3x² - 6x = 0
donc - 3x(x + 2) = 0 donc x = 0 ou x + 2 = 0
donc x = 0 ou x = - 2 .
L'abscisse du sommet est : (0 + (- 2))/2 = - 1 .
2) g(- 1) = - 3 + 6 - 5 = 2 .
x - ∞ - 1 + ∞
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2
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g(x) / \
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- ∞ - ∞
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