Bonjour
Nonehadashi
Exercice 28
A(-1 ; 2) , B(3 ; 7) , C(5 ; -1)
[tex]a)\ I\ (x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{2+7}{2})\\\\(x_I;y_I)=(\dfrac{2}{2};\dfrac{9}{2})\\\\(x_I;y_I)=(1;\dfrac{9}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{I\ (1;\dfrac{9}{2})}[/tex]
b) L'équation réduite de la droite d est de la forme : y = ax + b.
Calcul de a, coefficient directeur de la droite d.
Cette droite d est parallèle à la droite (BC). D'où, les droites d et (BC) ont le même coefficient directeur.
D'où
[tex]a=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\\\\\\a=\dfrac{-1-7}{5-3}\\\\\\a=\dfrac{-8}{2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-4}[/tex]
On en déduit que l'équation réduite de d est de la forme : y = -4x + b
Calcul de b.
La droite d passe par le point I(1 ; 9/2).
Donc, dans l'équation de d, nous pouvons remplacer x par 1 et y par 9/2
[tex]\dfrac{9}{2}=-4\times1+b\\\\\dfrac{9}{2}=-4+b\\\\b=\dfrac{9}{2}+4\\\\b=\dfrac{9}{2}+\dfrac{8}{2}\\\\\boxed{b=\dfrac{17}{2}}[/tex]
Par conséquent, l'équation réduite de d est [tex]\boxed{y=-4x+\dfrac{17}{2}}[/tex]
c) Calculons les coordonnées de J.
[tex]J\ (x_J;y_J)=(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})\\\\(x_J;y_J)=(\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{2-1}{2})\\\\(x_J;y_J)=(\dfrac{4}{2};\dfrac{1}{2})\\\\(x_J;y_J)=(2;\dfrac{1}{2})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{J\ (2;\dfrac{1}{2})}[/tex]
Le point J(2 ; 1/2) appartiendra à la droite d si ses coordonnées vérifient l'équation de d.
Dans l'équation de d, remplaçons x par 2 et montrons alors que y = 1/2.
[tex]-4\times2+\dfrac{17}{2}=-8+\dfrac{17}{2}=-\dfrac{16}{2}+\dfrac{17}{2}=\boxed{\dfrac{1}{2}}[/tex]
Par conséquent, puisque les coordonnées de J vérifient l'équation de d, nous en déduisons que la droite d passe par le point J.
Nous venons ainsi d'illustrer la réciproque du théorème des milieux dont l'énoncé est le suivant :
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à l'autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Exercice 34
a) Droite (d1) : [tex]y=\dfrac{2}{3}x[/tex]
Si x = 0, alors [tex]y=\dfrac{2}{3}\times0=0[/tex] ⇒ le point de coordonnées (0 ; 0) appartient à (d1)
Si x = 3, alors [tex]y=\dfrac{2}{3}\times3=2[/tex] ⇒ le point de coordonnées (3 ; 2) appartient à (d1)
Droite (d2) : [tex]y=\dfrac{3}{2}x-10[/tex]
Si x = 0, alors [tex]y=\dfrac{3}{2}\times0-10=-100[/tex] ⇒ le point de coordonnées (0 ; -10) appartient à (d2)
Si x = 2, alors [tex]y=\dfrac{3}{2}\times2-10=3-10=-7[/tex] ⇒ le point de coordonnées (2 ; -7) appartient à (d2)
Droite (d3) : y = 2.
Cette droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point de coordonnées (0 ; 2)
Graphique en pièce jointe.
b) Coordonnées de A.
Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\y=\dfrac{3}{2}x-10 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{3}{2}x-10=\dfrac{2}{3}x \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{3}{2}x-\dfrac{2}{3}x=10 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{9}{6}x-\dfrac{4}{6}x=10 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\\dfrac{5}{6}x=10 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\x=10\times\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right. \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\x=12 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\times12\\\\x=12 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}y=8\\\\x=12 \end{matrix}\right.}[/tex]
D'où les coordonnées du point A sont (12 ; 8).
Coordonnées de B.
Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}x\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{3}x=2\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=2\times\dfrac{3}{2}\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=3\\\\y=2 \end{matrix}\right.}[/tex]
D'où les coordonnées du point B sont (3 ; 2).
Coordonnées de C.
Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}x-10\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x-10=2\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x=12\\\\y=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=12\times\dfrac{2}{3}\\\\y=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=8\\\\y=2 \end{matrix}\right.}[/tex]
D'où les coordonnées du point C sont (8 ; 2).
c) Ces coordonnées se retrouvent parfaitement sur le graphique.
