Bonjour
Carolinaaaaa
1) Un vecteur directeur de la droite Dm est [tex]\boxed{\overrightarrow{u}(m+1;2m-1)}[/tex]
[tex]2)\ (D_m):(2m-1)x-(m+1)y+(1-2m)=0\\\\(D_m):(m+1)y=(2m-1)x+(1-2m)\\\\\boxed{Si\ m\neq-1,\ alors\ (D_m):y=\dfrac{2m-1}{m+1}x+\dfrac{1-2m}{m+1}}\\\\Si\ m=-1,\ alors\ (D_m):[2\times(-1)-1]x-0y+[1-2\times(-1)]=0\\\\(D_m):-3x+3=0\\\\(D_m):3x=3\\\\\boxed{Si\ m=-1,\ alors\ (D_m):x=1}[/tex]
3) Le point P(1;4) appartient à la droite Dm si ses coordonnées vérifient l'équation de Dm.
Dans l'équation de Dm, remplaçons x par 1 et y par 4.
[tex](2m-1)\times1-(m+1)\times4+(1-2m)=0\\\\2m-1-4m-4+1-2m=0\\\\-4m-4=0\\\\4m=-4\\\\\boxed{m=-1}[/tex]
4) a) En remplaçant m par 0 et par 1 dans l'équation réduite de Dm, nous obtenons :
[tex](D_0):y=-x+1\\\\(D_1):y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}[/tex]
Les coordonnées du point I sont les solutions du système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-x+1\\\\y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}=-x+1\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{2}x+x=1+\dfrac{1}{2}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{3}{2}x=\dfrac{3}{2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x=1}\\\\\\y=-x+1=-1+1=0\Longrightarrow\boxed{y=0}[/tex]
Par conséquent, nous obtenons : [tex]\boxed{I(1;0)}[/tex]
b) Dans l'équation de Dm, remplaçons x par 1 et y par 0.
[tex](2m-1)\times1-(m+1)\times0+(1-2m)=2m-1-0+1-2m=\boxed{0}[/tex]
Puisque l'équation de Dm est vérifiée par les coordonnées du point I, nous en déduisons que quel que soit m, I ∈ Dm.
