a) Si AC et BD sont les diagonales du trapèze et se coupent en I alors on peut affirmer que angle (AIB)=angle (DIC). De plus, comme ABCD est un trapèze donc les bases [AB] et [CD] sont parallèles donc la diagonales [AC] coupe AB et CD avec les même angles alternes-internes donc angle(IAB)=angle(ICD).
On a donc deux triangles qui ont deux angles similaires donc comme la somme des angles d'un triangle est 180° donc les angles (ABI)=angles(IDC). On peut donc conclure que les triangles AIB et DIC sont semblables.
On définit le point M tel qu'il soit situé à gauche du point E sur (EF).
D'après l'énoncé, on sait que EF // AB et la droite AD coupe (EF) et (AB) donc le théorème des angles alterne-internes donc angle(DAB)=angle(AEM) et on sait que deux angles opposés par le sommet ont même mesure donc angle(AEM)=angle(IED) d'où:
angle(DAB)=angle(IED)
Comme (AB)//(EF) donc (BD) coupe ces 2 droites avec le même angle donc angle(ABD)=angle(BIF) et comme l'angle BIF et l'angle EID sont opposés par le sommet donc angle(BIF)=angle(EID) d'où angle(ABD)=angle(EID)
On a donc 2 triangles ayant 2 angles égaux donc en vertu du faite que la somme des angles d'un triangle est 180° donc les troisièmes angle sont aussi égaux donc angle(ADB)=angle(EDI) donc les triangles ADB et EDI sont semblables.
b) Le rapport de réduction K est donné par:
K=AE/AD=BI/BD=EI/AB (relation de Thalès !)
c) On définit le point N tel qu'il soit situé à droite du point F sur (EF).
D'après
l'énoncé, on sait que EF // AB et la droite BC coupe (EF) et (AB) donc
le théorème des angles alterne-internes donc angle(ABC)=angle(BFN) et on sait que deux angles opposés par le sommet ont même mesure donc angle(BFN)=angle(IFC) d'où:
angle(ABC)=angle(IFC)
Comme les points B,F et C sont alignés ainsi que les points A,I et C donc angle(ACB)=angle(ICF)
On a donc 2 triangles avec deux angles similaires donc le 3ème le sera aussi car la somme des angles d'un triangle est 180°. On peut en conclure que les triangles ABC et IFC sont similaires.
c)
