Bonjour Sonyjemaa
1) L’équation de la sphère de centre [tex]\Omega_m:(2m-2,1-m,m-1)[/tex] et de rayon [tex]R_m=\sqrt{6}|m-1|[/tex] est :
[tex][x-(2m-2)]^2+[y-(1-m)]^2+[z-(m-1)]^2=(\sqrt{6}|m-1|^2\\\\\\x^2-2(2m-2)x+(2m-2)^2+y^2-2(1-m)y\\+(1-m)^2+z^2-2(m-1)z+(m-1)^2=6(m-1)^2\\\\x^2+y^2+z^2-2\times2(m-1)x-2(1-m)y-2(m-1)z\\+[2(m-1)]^2+(1-m)^2+(m-1)^2=6(m-1)^2[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2-4(m-1)x-2(1-m)y-2(m-1)z\\\\+4(m-1)^2+(m-1)^2+(m-1)^2=6(m-1)^2\\\\\\x^2+y^2+z^2-4(m-1)x-2(1-m)y-2(m-1)z+6(m-1)^2\\=6(m-1)^2\\\\\\x^2+y^2+z^2-4(m-1)x-2(1-m)y-2(m-1)z\\=6(m-1)^2-6(m-1)^2\\\\\\ \boxed{x^2+y^2+z^2-4(m-1)x-2(1-m)y-2(m-1)z=0}[/tex]
Nous retrouvons donc bien l'équation donnée dans la définition de [tex](S_m)[/tex]
2) Soit M(x;y;z) un point quelconque de (F), alors :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=2m-2\\y=1-m\\z=m-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=-2+2m\\y=1-m\\z=-1+m \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
(F) est une droite comprenant le point de coordonnées (-2 ; 1 ; -1) et dont les coordonnées d'un vecteur directeur sont (2 ; -1 ; 1).
3) Nous montrerons que P est tangent à (Sm) en montrant que la distance entre [tex]\Omega_m[/tex] et P est égal au rayon Rm de (Sm)
[tex]Distance(\Omega_M,P)=\dfrac{|2(2m-2)-(1-m)+(m-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}\\\\\\Distance(\Omega_M,P)=\dfrac{|4m-4-1+m+m-1|}{\sqrt{4+1+1}}\\\\\\Distance(\Omega_M,P)=\dfrac{|6m-6|}{\sqrt{6}}\\\\\\Distance(\Omega_M,P)=\dfrac{6|m-1|}{\sqrt{6}}\\\\\\Distance(\Omega_M,P)=\dfrac{(\sqrt{6})^2|m-1|}{\sqrt{6}}\\\\\\\boxed{Distance(\Omega_M,P)=\sqrt{6}|m-1|=R_m}[/tex]
Par conséquent, puisque la distance entre [tex]\Omega_m[/tex] et P est égal au rayon de (Sm), nous en déduisons que P est tangent à (Sm).
B) A(4;0;0) ; B(0;-2;0) ; C(0;0;2)
[tex]1)\ a)\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(0-4;-2-0;0-0)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}:(-4;-2;0)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)=(0-4;0-0;2-0)\\\\\boxed{\overrightarrow{AC}:(-4;0;2)}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\times2-0\times0\\0\times(-4)-(-4)\times2\\(-4)\times0-(-4)\times(-2)\end{pmatrix}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{N}=\begin{pmatrix}-4\\8\\-8\end{pmatrix}}[/tex]
b) En tenant compte des coordonnées de [tex]\overrightarrow{N}[/tex], nous déduisons que l'équation du plan (ABC) est de la forme : -4x+8y-8z+d=0.
Or le point A(4;0;0) appartient à ce plan.
Donc
[tex]-4\times4+8\times0-8\times0+d=0\\\\-16+d=0\\\\d=16[/tex]
Par conséquent, l'équation cartésienne du plan (ABC) est
[tex]-4x+8y-8z+16=0\\\\-4(x-2y+2z-4)=0\\\\\boxed{x-2y+2z-4=0}[/tex]
2) a) Volume du tétraèdre OABC.
Le tétraèdre OABC est sous-tendu par les vecteurs [tex](\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[/tex]
D'où
[tex]Volume_{OABC}=\dfrac{1}{6}\times |d\acute{e}t(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|\\\\\\Volume_{OABC}=\dfrac{1}{6}\times \begin{vmatrix}-4&-4&-4\\0&-2&0\\0&0&2\end{vmatrix}\\\\\\Volume_{OABC}=\dfrac{1}{6}\times(16+0+0)-(0+0+0)\\\\\\Volume_{OABC}=\dfrac{1}{6}\times16\\\\\\\boxed{Volume_{OABC}=\dfrac{8}{3}}[/tex]
b) Hauteur h du tétraèdre OABC issue de O
[tex]Volume_{OABC}=\dfrac{1}{3}\times Aire_{ABC}\times h[/tex]
Or
[tex]||\overrightarrow{N}||=\sqrt{(-4)^2+8^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64+64}=\sqrt{144}=12\\\\\\\Longrightarrow Aire_{Triangle\ ABC}=\dfrac{1}{2}\times||\overrightarrow{N}||=\dfrac{1}{2}\times12=6[/tex]
Donc
[tex]\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{3}\times6\times h\\\\\dfrac{8}{3}=2h\\\\h=\dfrac{8}{6}\\\\\Longrightarrow\boxed{h=\dfrac{4}{3}}[/tex]
[tex]3)\ a)\ \Omega_2:(2;-1;1)\ et\ R_2=\sqrt{6}\\\\\Omega_2O=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\boxed{\sqrt{6}}\\\\\Omega_2A=\sqrt{(2-4)^2+(-1-0)^2+(1-0)^2}=\boxed{\sqrt{6}}\\\\\Omega_2B=\sqrt{(2-0)^2+(-1+2)^2+(1-0)^2}=\boxed{\sqrt{6}}\\\\\Omega_2C=\sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2+(1-2)^2}=\boxed{\sqrt{6}}[/tex]
D'où le centre [tex]\Omega_2[/tex] de la sphère (S2) est à égale distance des points O, A, B et C.
Par conséquent, la sphère (S2) est circonscrite au tétraèdre OABC.
[tex]b)\ Distance(\Omega_2,ABC)=\dfrac{|2-2\times(-1)+2\times1-4}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}\\\\\\Distance(\Omega_2,ABC)=\dfrac{|2+2+2-4|}{\sqrt{9}}\\\\\\Distance(\Omega_2,ABC)=\dfrac{2}{3}[/tex]
Si r est le rayon du cercle (C), par Pythagore, nous avons :
[tex]r^2+(\dfrac{2}{3})^2=(\sqrt{6})^2\\\\r^2+\dfrac{4}{9}=6\\\\r^2=\dfrac{50}{9}\\\\r=\sqrt{\dfrac{50}{9}}=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{3}\\\\\boxed{r=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}}[/tex]
De plus, si les coordonnées du point H sont [tex](h_1;h_2;h_3)[/tex], nous avons :
[tex](h_1;h_2;h_3)+(\dfrac{2}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{4}{3})=(2;-1;1)\\\\(h_1;h_2;h_3)=(2;-1;1)-(\dfrac{2}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{4}{3})\\\\(h_1;h_2;h_3)=(\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{ -1}{3})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{H:(\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3})}[/tex]
[tex]c)\ OH=\sqrt{(\dfrac{4}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^2+(-\dfrac{ 1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{18}{9}}=\sqrt{2}\approx1,4\\\\h=\dfrac{4}{3}\approx1,3[/tex]
[tex]\Longrightarrow\sqrt{2}\neq\dfrac{4}{3}[/tex]