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Bonjour Moussa30
a1) Pour tout n ∈ N*, vérifions par récurrence la proposition [tex]P_n[/tex] suivante : [tex]\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Initialisation : Montrons que [tex]P_1[/tex] est vrai.
[tex]\left\{\begin{matrix}\sum\limits_{k=1}^1k=\boxed{1}\\\\\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=\boxed{1}\\ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{P_1\ est\ vrai}[/tex]
Hérédité : Si la proposition [tex]P_n[/tex] est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons que la proposition [tex]P_{n+1}[/tex] est vraie.
Supposons donc que [tex]\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\sum\limits_{k=1}^{n}k+(n+1)\\\\\\=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\ \ \ \ (car\ P_n\ est\ vrai)\\\\=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\\\\\Longritharrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré la relation proposée.
a2) Pour tout n ∈ N*, vérifions par récurrence la proposition [tex]P'_n[/tex] suivante : [tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Initialisation : Montrons que [tex]P'_1[/tex] est vrai.
[tex]\left\{\begin{matrix}\sum\limits_{k=1}^1k(k+1)=1(1+1)=\boxed{2}\\\\\dfrac{1(1+1)(1+2)}{3}=\dfrac{6}{3}=\boxed{2}\\ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{P'_1\ est\ vrai}[/tex]
Hérédité : Si la proposition [tex]P'_n[/tex] est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons que la proposition [tex]P'_{n+1}[/tex] est vraie.
Supposons donc que [tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)+(n+1)(n+2)\\\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)\ \ \ \ (car\ P'_n\ est\ vrai)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+\dfrac{3(n+1)(n+2)}{3}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré la relation proposée.
b) Nous pouvons alors conjecturer que [tex]\boxed{S_n=\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}}[/tex]
Démontrons cette relation par récurrence.
Initialisation : Montrons que la relation est vraie pour n=1.
En effet cette relation a déjà été démontrée dans la question a2)
Hérédité : Si la relation est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons qu'elle est encore vraie pour (n+1)
Supposons donc que [tex]S_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}[/tex] et montrons que [tex]S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}[/tex]
En effet,
[tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)...(k+p)\\\\=\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)...(k+p)+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=S_n+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}+\dfrac{(n+1)(n+2)...(n+p+1)(p+2)}{p+2}\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}\\\\\Longrightarrow\boxed{S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout n ∈ N*, [tex]S_n=\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}[/tex]
c1) En appliquant les formules des questions a1) et a2), nous avons :
[tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^n(k^2+k)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2+\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{2n(n+1)(n+2)}{6}-\dfrac{3n(n+1)}{6}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)[2(n+2)-3]}{6}\\\\\boxed{\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/tex]
c2) De même en appliquant les formules précédentes et la formule b),
[tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)(k+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\sum\limits_{k=1}^n(k^3+3k^2+2k)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3+3\sum\limits_{k=1}^nk^2+2\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}-n(n+1)\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)[(n+2)(n+3)-2(2n+1)-4]}{4}[/tex]
[tex]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)[n^2+n]}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)n(n+1)}{4}\\\\\boxed{\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}[/tex]
[tex]d)\ \dfrac{S_n}{(p+1)!}=\dfrac{\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)}{(p+1)!}\\\\\\\dfrac{S_n}{(p+1)!}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k(k+1)...(k+p)}{(p+1)!}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{S_n}{(p+1)!}=\sum\limits_{k=1}^n\begin{pmatrix}p+k\\p+1\end{pmatrix}}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{S_n=(p+1)!\times\sum\limits_{k=1}^n\begin{pmatrix}p+k\\p+1\end{pmatrix}}[/tex]
a1) Pour tout n ∈ N*, vérifions par récurrence la proposition [tex]P_n[/tex] suivante : [tex]\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Initialisation : Montrons que [tex]P_1[/tex] est vrai.
[tex]\left\{\begin{matrix}\sum\limits_{k=1}^1k=\boxed{1}\\\\\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=\boxed{1}\\ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{P_1\ est\ vrai}[/tex]
Hérédité : Si la proposition [tex]P_n[/tex] est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons que la proposition [tex]P_{n+1}[/tex] est vraie.
Supposons donc que [tex]\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\sum\limits_{k=1}^{n}k+(n+1)\\\\\\=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\ \ \ \ (car\ P_n\ est\ vrai)\\\\=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\\\\\Longritharrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré la relation proposée.
a2) Pour tout n ∈ N*, vérifions par récurrence la proposition [tex]P'_n[/tex] suivante : [tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Initialisation : Montrons que [tex]P'_1[/tex] est vrai.
[tex]\left\{\begin{matrix}\sum\limits_{k=1}^1k(k+1)=1(1+1)=\boxed{2}\\\\\dfrac{1(1+1)(1+2)}{3}=\dfrac{6}{3}=\boxed{2}\\ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{P'_1\ est\ vrai}[/tex]
Hérédité : Si la proposition [tex]P'_n[/tex] est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons que la proposition [tex]P'_{n+1}[/tex] est vraie.
Supposons donc que [tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)+(n+1)(n+2)\\\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)\ \ \ \ (car\ P'_n\ est\ vrai)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+\dfrac{3(n+1)(n+2)}{3}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré la relation proposée.
b) Nous pouvons alors conjecturer que [tex]\boxed{S_n=\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}}[/tex]
Démontrons cette relation par récurrence.
Initialisation : Montrons que la relation est vraie pour n=1.
En effet cette relation a déjà été démontrée dans la question a2)
Hérédité : Si la relation est vraie pour n fixé dans N*, alors montrons qu'elle est encore vraie pour (n+1)
Supposons donc que [tex]S_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}[/tex] et montrons que [tex]S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}[/tex]
En effet,
[tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k+1)...(k+p)\\\\=\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+1)...(k+p)+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=S_n+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}+(n+1)(n+2)...(n+p+1)\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}+\dfrac{(n+1)(n+2)...(n+p+1)(p+2)}{p+2}\\\\=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}\\\\\Longrightarrow\boxed{S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)(n+p+2)}{p+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initiation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré que pour tout n ∈ N*, [tex]S_n=\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)=\dfrac{n(n+1)(n+2)...(n+p+1)}{p+2}[/tex]
c1) En appliquant les formules des questions a1) et a2), nous avons :
[tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^n(k^2+k)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2+\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{2n(n+1)(n+2)}{6}-\dfrac{3n(n+1)}{6}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)[2(n+2)-3]}{6}\\\\\boxed{\sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/tex]
c2) De même en appliquant les formules précédentes et la formule b),
[tex]\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)(k+2)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\sum\limits_{k=1}^n(k^3+3k^2+2k)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3+3\sum\limits_{k=1}^nk^2+2\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}-n(n+1)\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)[(n+2)(n+3)-2(2n+1)-4]}{4}[/tex]
[tex]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)[n^2+n]}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n(n+1)n(n+1)}{4}\\\\\boxed{\sum\limits_{k=1}^nk^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}[/tex]
[tex]d)\ \dfrac{S_n}{(p+1)!}=\dfrac{\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)...(k+p)}{(p+1)!}\\\\\\\dfrac{S_n}{(p+1)!}=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k(k+1)...(k+p)}{(p+1)!}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{S_n}{(p+1)!}=\sum\limits_{k=1}^n\begin{pmatrix}p+k\\p+1\end{pmatrix}}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{S_n=(p+1)!\times\sum\limits_{k=1}^n\begin{pmatrix}p+k\\p+1\end{pmatrix}}[/tex]
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