Bonjour,
1) pour montrer que les plans sont perpendiculaires, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Soit n[tex] \left[\begin{array}{ccc}2\\3\\6\end{array}\right] [/tex] le vecteur normal de P ,
et n'[tex] \left[\begin{array}{ccc}3\\-6\\2\end{array}\right] [/tex] le vecteur normal de P'.
Calculos n.n' = 2*3+3*-6+2*6=6-18+12=0. Donc les vecteurs sont orthogonaux, et les plans sont perpendiculaires.
2)Calculons l'intersection des deux plans. nous avons un système d'equations: nous allons tout exprimer en fonction de z
[tex]\left \{ {{2x+3y+6z=0} \atop {3x-6y+2z+1=0}} \right.
\left \{ {2x=-3y-6z} \atop {3x-6y+2z+1=0}} \right.
\left \{ {{x=-3y/2-6z/2} \atop {3*(-3y/2-6z/2)-6y+2z+1=0}} \right[/tex]
Je vais tout mettre sur le dénominateur 2, puis simplifier par 2 ce qui nous donne:
[tex] \left \{ {{x=-3y/2-6z/2} \atop {-9y-18z-12y+4z+2=0}} \right. \left \{ {{x=-3y/2-6z/2} \atop {-21y-14z+2=0} \right. \left \{ {{x=-3y/2-6z/2} \atop {y=-14z/21+2/21}} \right.
[/tex]
Enfin nous avons[tex] \left \{ {{x=-3(-2z/3)-3*(2/21)-6z/2} \atop {y=-2z/3+2/21}} \right. \left \{ {{x=-z-2/7} \atop {y=-2z/3+2/21}} \right [/tex]
ce qui nous donne comme equation paramétrique de la droite (D):
x=-z-2/7
y=-2z/3+2/21
z=z
C'est une droite passant par le point B(-2/7;2/21;0) et de vecteur directeur u[tex] \left[\begin{array}{ccc}-1\\-2/3\\1\end{array}\right] [/tex]
3)a) pour calculer la distance de A à P ,nous calculons la distance entre A et H son projeté orthogonal sur P, en utilisant (a,b,c) les coordonnées du vecteur normal de P la formule est la suivante:
[tex]AH= \frac{|axA+byA+czA+d|}{ \sqrt{ a^{2} +b^{2} + c^{2} } }
AH= \frac{|2*-4+3*1+6*-2+0|}{ \sqrt{ 2^{2} +3^{2} + 6^{2} } }
AH=17/ \sqrt{49}
[/tex]
Donc AH=17/7.
EN utilisant exactement la même formule pour calculer la distance de A à P', nous obtenons AH'= 21/7 =3.
b)Lorsque nous avons deux plans perpendiculaires et que nous cherchons la distance d'un point à la droite qui est l'intersection de ces deux plans la formule est
[tex]d= \sqrt{d1^2+d2^2}
d=\sqrt{(17/ \sqrt{49})^2 +3^2}
d= \sqrt{730}/ 7[/tex]
Les calculs étant longs , j'ai peut être fait des petites erreurs de claculs que je corrigerai mais en tout cas tu as la méthode! bon courage!
