Bonjour Charline661,
Exercice 6
f(x) = 5x² + 8x + 1
1) f '(x) = 10x + 8
2) Tableau de variation de f
[tex]10x+8=0\Longrightarrow10x=-8\\\\\Longrightarrow x=-\dfrac{8}{10}\\\\\Longrightarrow x=-\dfrac{4}{5}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\dfrac{4}{5}&&+\infty\\&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&-\dfrac{11}{5}=-2,2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [-10 ; -4/5].
f(-10) = 421 et f(-4/5) = -2,2.
Puisque 2 ∈ [-2,2 ; 421], selon le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 2 admet une solution unique x1 dans l'intervalle [-10 ; -4/5].
La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-4/5 ; 10].
f(-4/5) = -2,2 et f(10) = 581.
Puisque 2 ∈ [-2,2 ; 581], selon le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 2 admet une solution unique x2 dans l'intervalle [-4/5 ; 10].
4) L'équation f(x) = 2 n'admettant pas d'autre solution dans les intervalles ]-oo ; -10] et [10 ; +oo[, l'équation f(x) = 2 admet exactement deux solutions sur IR.
5) Par un tableur, nous pouvons déterminer des valeurs approchées de x1 et x2.
[tex]\boxed{x_1\approx-1,72\ \ et\ \ x_2\approx0,12}[/tex]
Nous pourrions retrouver ces valeurs en résolvant algébriquement l'équation f(x) = 2
[tex]5x^2+8x+1=2\\\\5x^2+8x-1=0\\\\\Delta=8^2-4\times5\times(-1)=64+20=84\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-8-\sqrt{84}}{10}\approx-1,72\\\\x_2=\dfrac{-8+\sqrt{84}}{10}\approx0,12[/tex]
Exercice 7
[tex]1)\ f(x)=4x^3+3x^2+2x+1[/tex]
a) Tableau de variations de f.
[tex]f'(x)=12x^2+6x+2\\\\\Delta=6^2-4\times12\times2=36-96=-60\ \textless \ 0\\\\\text{pas de racine}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)\ \textgreater \ 0}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&&&+\infty\\&&&&&\\f'(x)&&&+&&\\&&&&&\\f(x)&-\infty&&\nearrow&&+\infty\\ \end{array}[/tex]
b) La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-1 ; 0]
f(-1) = -2 < 0 et f(0) = 1 > 0.
Puisque 0 ∈ [-2 ; 1], selon le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique [tex]\alpha[/tex] dans l'intervalle [-1 ; 0].
c) Si x ∈ ]-oo ; -1], alors f(x) < -2 ===> f(x) = 0 n'admet pas de solution dans ]-oo ; -1]
Si x ∈ [0 ; +oo], alors f(x) > 1 ===> f(x) = 0 n'admet pas de solution dans [0 ; +oo[
Par conséquent, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique [tex]\alpha[/tex] sur IR.
d) Par un tableur, nous pouvons trouver que [tex]\boxed{\alpha\approx-0,606}\ \ \ (\grave{a}\ 10^{-3}\ pr\grave{e}s)[/tex]
e) Tableau de signes de f(x).
Nous pouvons alors déduire le tableau de signes suivant :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha\approx-0,606&&+\infty\\&&&&&&\\f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex]2)\ g(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\\\\a)\ g'(x)=4x^3+3x^2+2x+1\\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=f(x)}[/tex]
b) Tableau de variation de g
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\alpha\approx-0,606&&+\\&&&&&\\g'(x)=f(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\g(x)&&\searrow&g(\alpha)\approx0,67&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
