Bonjour Oussama16
Nous savons que [tex]\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\ \ et\ \ \overrightarrow{DN}=x\overrightarrow{DC}\ \ \ \ (x\in\mathbb{R})[/tex]
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\ \ \text{(par\ Chasles)}\\\\x(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=x\overrightarrow{AD}\\\\x\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}+x\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{AD}\\\\x\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}-x\overrightarrow{DC}=x\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DN}=x\overrightarrow{AD}\ \ (car\ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\ \ et\ \ \overrightarrow{DN}=x\overrightarrow{DC})\\\\x\overrightarrow{BC}-x\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DN}\\\\x\overrightarrow{BC}-x\overrightarrow{AD}\boxed{+\overrightarrow{AD}}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DN}\boxed{+\overrightarrow{AD}}[/tex]
[tex]x\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}-x\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{AD}\\\\x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\\\\x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}\ \ \text{(par\ Chasles)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}}[/tex]
2) a) Si [tex]\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}[/tex], alors les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un trapèze.
[tex]\\\\b)\ \overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}\\\\\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(1-x)\times3\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(3-3x)\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{BC}-3x\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{BC}+(x\overrightarrow{BC}-3x\overrightarrow{BC})[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{BC}+(x-3x)\overrightarrow{BC}\\\\\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{BC}-2x\overrightarrow{BC}\\\\\boxed{\overrightarrow{MN}=(3-2x)\overrightarrow{BC}}[/tex]
[tex]c)\ M=N\\\\\Longleftrightarrow\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}\\\\\Longleftrightarrow(3-2x)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\\\\\Longleftrightarrow3-2x=0\ \ (car\ \overrightarrow{BC}\neq\overrightarrow{0})\\\\\Longleftrightarrow2x=3[/tex]
[tex]\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x=\dfrac{3}{2}}[/tex]
Par conséquent, M = N si x = 3/2.
