Bonjour Leilana
1) Graphique en pièce jointe
2) Graphique en pièce jointe
3) [tex]a)\ f(x)=e^x\Longrightarrow f'(x)=e^x\Longrightarrow\boxed{f'(a)=e^a}[/tex]
Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A est [tex]\boxed{f'(a)=e^a}[/tex]
[tex]g(x)=1-e^{-x}\Longrightarrow g'(x)=0-(-e^{-x})=e^{-x}\Longrightarrow\boxed{g'(b)=e^ {-b}}[/tex]
Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B est [tex]\boxed{g'(b)=e^ {-b}}[/tex]
b) Si les tangentes aux courbes Cf en A et Cg en B sont confondues, alors ces tangentes ont le même coefficient directeur.
Donc [tex]f'(a)=g'(b)\Longrightarrow e^a=e^{-b}\Longrightarrow a=-b\Longrightarrow\boxed{b=-a}[/tex]
4a) L'équation de la tangente [tex]T_A[/tex] à la courbe Cf au point A est de la forme : [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
[tex]T_A:y=e^a(x-a)+e^a\\\\\boxed{T_A:y=e^ax-ae^a+e^a}[/tex]
L'équation de la tangente [tex]T_B[/tex] à la courbe Cg au point B est de la forme : [tex]y=g'(b)(x-b)+f(b)[/tex]
[tex]T_B:y=e^{-b}(x-b)+1-e^{-b}\\\\ T_B:y=e^{-b}x-be^{-b}+1-e^{-b}[/tex]
Or : b = -a ===> -b = a
D'où [tex]\boxed{T_B:y=e^{a}x+ae^{a}+1-e^{a}}[/tex]
Si les tangentes [tex]T_A[/tex] et [tex]T_B[/tex] sont confondues, alors leurs équations [tex]y=e^ax-ae^a+e^a[/tex] et [tex]y=e^{a}x+ae^{a}+1-e^{a}[/tex] sont équivalentes.
D'où, dans ce cas-là, en égalant les ordonnées à l'origine de ces deux droites, le réel a vérifierait la relation [tex]-ae^a+e^a=ae^{a}+1-e^{a}[/tex]
soit
[tex]2ae^{a}-2e^{a}+1=0\\\\(2a-2)e^{a}+1=0\\\\\boxed{2(a-1)e^{a}+1=0}[/tex]
Par conséquent, le réel a est solution de l'équation [tex]\boxed{2(x-1)e^{x}+1=0}[/tex]
b) Par la fonction TABLE de la calculatrice, nous obtiendrons les valeurs approchées à [tex]10^{-2}[/tex] près de a et b.
[tex]\boxed{a\approx-1,68\ \ et\ \ b\approx1,68}\\\\ou\\\\\boxed{a\approx0,77 \ et\ \ b=-0,77}[/tex]
