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résolu

[TS] Bonjour !
On a f(x) = [tex]ln(x)- \frac{1}{x} [/tex] définie sur I= ]0;+∞[
1) Déterminer la limite de x⇒0 de f(x)
2) Démontrer que l'équation f(x) = 0 a une solution et une seule sur I, qu'on note α.
Justifier que α ∈ ]1;e[ ( sans calculatrice)

Pour la 1), j'ai trouvé -∞ et pour la 2), j'ai utilisé le TVI, là pas de problème mais pour justifier que α ∈ ]1;e[, je n'y arrive pas
J'ai d'abord pensé à faire f(1) et f(e) mais les résultats sont incohérent avec α ≈1,76 ( vu à la calculatrice)
J'ai trouvé f(1) = -1 et f(e) ≈ 0,63 ..

Merci d'avance !

Répondre :

LETEMPSVIZ
Pour la 1) et la 2) c'est bon 
et ensuite tu as :
f(a) = ln(a) - 1/a = 0  
ln(a) = 1/a

Si a >e alors ln(a) > ln(e) = 1  (par croissance de la fonction ln)
donc 1/a >1 et a < 1, ce qui est absurde

De même si a<1 alors 1/a > 1
autrement dit ln(a) >1, soit  a > e , ce qui est encore absurde

Conclusion : 1<a<e
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