Bonjour,
on va s'inspirer du titre : suite arithmétique cachée
U₁ = 1 U₂ = 5/2 U₃ = 9/3 U₄ = 13/4 U₅ = 17/5 ...
Les numérateurs successifs sont 1, 1+4=5, 5+4=9, 9+4=13, etc...
Les dénominateurs successifs sont 1, 2, 3, etc...
Soit (Vn) suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme V₀ = 1,
soit Vn = 1 + 4n pour tout n ∈N et donc Vn-1 = 4n - 3 pour tout n ≥ 1
Alors il semble que : Un = Vn-1/n
Par récurrence : On vérifie bien que U₁ = V₁₋₁/1 = V₀/1 = 1/1 = 1
Hypothèse : Un = Vn-1/n
Un+1 = (nUn + 4)/(n + 1) par définition de (Un)
= (n x Vn-1/n + 4)/(n + 1) par hypothèse de récurrence
= (4n - 3 + 4)/(n + 1)
= (4n + 1)/(n + 1)
= Vn/(n + 1)
Hérédité démontrée.
Donc Un = Vn-1/n = (4n - 3)/n pour tout n ≥ 1
⇒ lim Un quand n→+∞ = lim (4n/n) = 4
⇒ (Un) convergente et lim Un = 4
