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MALOUSAM1VIZ
résolu

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour mon DM :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I, J), on donne les points A(- 4 ; -1.5), B(-2; 2.5) et C(2; 0.5).

1. Placer ces points dans le plan.
Cette figure sera complétée tout au long du problème.
2. Soit M(0 ; a), où a est un réel.
Déterminer le réel a pour que le triangle ABM soit rectangle en B.
3. Quelle conjecture peut-on émettre quant aux points B, M et C ? Le démontrer.
On pourra s’aider, si nécessaire, du fait que √20 = 2√5.
4. Déterminer les coordonnées du point N tel que le quadrilatère ABNC soit un parallélogramme.
5. Déterminer les coordonnées du point K, symétrique du point A par rapport au point B.
6. Montrer que le triangle BKN est rectangle et isocèle.
7. Quelle est la nature du quadrilatère BCNK ? Justifie

J'ai fais le a mais je bloque dessus
je trouve a = 6 mais sur le graphique la logique voudrait que ce soit a = 1.5 pour qu'il soit rectangle.

Merci d'avance !

PS : Je suis en 2nde

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ
bonjour,
si le triangle est rectangle en B
alors
AB perpendiculaire àBM
d'où
coefficient directeur (AB) x coefficient directeur(BM)=-1
Coef AB= yb-ya/xb-xa
coef AB=(2.5+1.5)/(-2+4)=4/2=2
d'où
coefAB x coe BM=-1
Coef BM= -1/coef AB
CoefBM=-1/2
Coef BM=(ym-yb)/(xm-xbà
-1/2= (a-2.5)/(0+2)
-1/2)=(a-2.5)/2
-1=a -2.5
a=-1+2.5
a=1.5

B M et C alignés
d'où coefBM=coefBC
coefBM=-1/2
coefBC=-yc-yb)/(xc-xb)
coef BC=(0.5-2.5)/(2+2=-2/4=-1/2
BM//BC
par un point il ne passe qu'une parralléle
d'où
B M et C alignés
je remarque
0=(-2-2)/2  d'où xm=(xb+xc)/2
1.5=(2.5-0.5)/2 d'où xm=(xb+xc)/2
d'où M milieu de BC

Si ABNC est un parallélogramme
alors les diagonales se coupent en leur milieu
AN etBC diagonales
M milieu de BC
alors M milieu de AN
d'où
xm=(xa+xn)/2
0=(-4+xn)/2
-4+xn=0
xn=4
ym=(yx+yn)/2
1.5=(-1.5+yn)/2
3=-1.5+yn
3+1.5=yn
4.5=yn
N(4;4.5)

K symétrique de A par rapport àB
d'où B milieu de AK
xb=(xa+xk)/2
-2=(-4+xk)/2
-4=-4+xk
xk=-4+4
xk=0
yb=(ya+yk)/2
2.5=(-1.5+yk)/2
5=-1.5+yk
yk=5+1.5
yk=6.5
K(0,6.5)

si le triangle BKN est rectangle
si c'est en K
alors BK est perpendiculaire à KN
d'où
produit des coefficient=-1
coef BK=coef AB (K ∈AB)=2
coef KN=(yn-yk)/(xn-xk)=4.5-6.5/4-0)=-2/4=-1/2
2 x -1/2=-1
BK et KN perpendiculaire
le triangle BKN est rectangle en K

Longueur des côtés
KN=√(xn-xk)²+(yn-yk)²
KN=√(4-0)²+(4.5-6.5)²
KN=√4²+(-2²)
KN=√16+4=√20

KB=√(xb-xk)+(yb-yk)²
KB=√(-2-0)²+(5.2-6.5)²
KB=√ (-2)²+(-4)²
KB=√4+16
KB=√20

KB=KN
le triangle BKN est rectangle en K et isocèle

quadrilatrère BCNK
KN perpendiculaire à Bk ou AB
BC peprendiculaire à AB
JN//BC
ABNC paralléogramme
d'où
AB//NC
et
AB=NC
d'où
NC//BK
et
NC=bk
d'où
NCNK
cotés opposé parralléles
est un paralléogramme
K est un angle droit
d'où
BNCK est un rectangle
BK=KN
2c��tés consécutifs égaux
BCNK est un carré

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