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résolu

Bonjour à tous,
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cet exercice qui est assez pressé. En temps normal, je maitrise plutôt bien les matrices, mais là je bloque complètement!

Q1. Montrer que si M est une matrice magique de formât nxn , alors sa transposée est aussi magique . On admet que Si M et N sont des matrices magiques de format nxn et si λ ∈ R alors M+N est magique.

Je ne vois pas comment faire , à part dire que la somme des termes de la nième ligne de la transposée est la somme des termes de la nième colonne de M et donc , il en est de même pour la somme sur chaque colonne de la transposée , et inversement; et que la diagonale de la transposée est exactement la diagonale de la matrice. Mais je ne vois pas comment le démontrer ! Faut-il que somme des a1,j pour j de 1 à n= somme des a2,j pour j allant de 1 à n= ....=somme des an,j pour j allant de 1 à n=somme des ai,1 pour i allant de 1 à n=....=somme des ai,n pour i allant de 1 à n=somme ai,i pour i allant de 1 à n=somme des aj,j pour j allant de 1 à n?

Q2. On rappelle que toute matrice carrée M peut s'écrire sous la forme M=A+S avec S matrice symétrique et A matrice antisymétrique et être décomposition est unique.
Soit M une matrice magique de format nxn, déduire de la question précédente que A et S sont magiques. Calculer tr(A) et tr(S) en fonction de tr(M).

M= S+A magique donc d'après la question 2 tM est magique aussi, ie tS+tA est magique, ie S-A magique mais comment montrer que S et A sont magiques et comment calculer leur trace?

Q3. Déterminer toutes les matrices magiques antisymétriques de format 3x3.
Une matrice est antisymétrique si aj,i=-ai,j
Pour la diagonale, ai,i=-ai,i donc ai,i=0
Ensuite je ne vois pas...

Q4.a). Montrer que si T est une matrice symétrique magique de format 3x3 vérifiant tr(T)=0, alors T peut être décrie à l'aide d'un unique paramètre réel et donner la forme de T à l'aide de ce paramètre.

b). Soit m une matrice magique symétrique de taille 3x3 et soit M'=3M-tr(M)J, J étant la matrice composée de 1 uniquement . Montrer que M' est une matrice magique symétrique vérifiant tr(M')=0

c)En déduire la forme des matrice magiques symétriques de format 3x3

Je n'ai aucune idée de comment répondre à ces questions, ce qui me perturbe c'est que l'on a aucune valeurs!!

Q5. En déduire la forme dans matrices magiques de format 3x3.

J'ai vraiment besoin de votre aide, qui souvent, est très précieuse....
Je vous remercie par avance et vous souhaite une bonne fin de journée

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

Q1)

Tu n'as en fait qu'un problème de rédaction (et moi aussi via cet interface..)

M(ai,j) matrice magique d'ordre n ⇔

Σ pour i de 1 à n (ai,j)

= Σ pour i de 1 à n (aj,i) (ceci exprime somme ligne = somme colonne)

= Σ pour i de 1 à n (ai,i) (= Tr(A) trace)

= Σ pour i de 1 à n (ai, n+1 - i) (ceci exprime sommes diagonales égales)

Soit tM la transposée de M (désolé pour la notation approximative)

tM(bi,j) / ∀(i,j) ∈ {1,2,...,n}², bi,j = aj,i

⇒ Σ pour j de 1 à n (bi,j) = Σ pour i de 1 à n (aj,i)

et donc d'après la définition précédente :

1) = Σ pour i de 1 à n (ai,j)

= Σ pour j de 1 à n (bj,i)    (par définition de la transposée)

2) = Σ pour i de 1 à n (ai,i)

= Σ pour j de 1 à n (bj,j)    (par définition de la transposée)

et 3) = Σ pour i de 1 à n (ai,n+1 - i)

= Σ pour j de 1 à n (bj, n+1 - j) (par définition de la transposée)

Et donc, 1) 2) et 3) ⇒ tM magique

Q2)

M = A + S décomposition unique    (1)

⇒ tM = tA + tS

⇔ tM = - A + S                                           (2)

(1) et (2) ⇒ S = (M + tM)/2 et  A = (M - tM)/2

Or d'après Q1, M et tM sont magiques ⇒ Leur somme et leur différence sont magiques ainsi que leur produit par le réel 1/2.

⇒ A et S magiques

Tr(A) = (Tr(M) - Tr(tM))/2 = 0 car Tr(tM) = Tr(M)

Tr(S) = (Tr(M) + Tr(tM))/2 = 2Tr(M)/2 = Tr(M)

Q3)

D'après Q2) : Tr(A) = 0 et A est magique

⇒ [tex] \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] [/tex]

avec a+b+c = d+e+f = g+h+i = a+e+i = c+e+g = a+d+g = b+e+h = c+f+i = 0

et a = d = i = 0 car la diagonale d'une matrice antisymétrique est nulle (ai,i = -ai,i = 0)

on en déduit : b+c = d+f = g+h = c+g = d+g = b+h = c+f = 0

⇒ b = -c = g = - h = f = - d

⇒ [tex] \left[\begin{array}{ccc}0&b&-b\\-b&0&b\\b&-b&0\end{array}\right] [/tex]

Même technique pour S

On trouve : [tex] \left[\begin{array}{ccc}a&-a&0\\-a&0&a\\0&a&-a\end{array}\right] [/tex]

Je te laisse terminer...en espérant que le tex soit lisible
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