Bonjour,
Partie A
1) On lit f(1) = 90 donc 90000 €
2) On lit l'antécédent de 130, x = 4,75 soit 4,75 tonnes
Partie B
1) CM(x) = f(x)/x
⇒ C'M(x) = [xf'(x) - f(x)]/x²
= [x(1,5x² - 8x + 20) - (0,5x³ - 4x² + 20x + 72)]/x²
= (1,5x³ - 8x² + 20x - 0,5x³ + 4x² - 20x - 72)/x²
= (x³ - 4x² - 72)/x²
2) (x - 6)(x² + 2x + 12) = x³ + 2x² + 12x - 6x² - 12x - 72 = x³ - 4x² - 72
donc C'M(x) = (x - 6)(x² + 2x + 12)/x²
3) Sur ]0;10], x² + 2x + 12 > 0 (Δ = 4 - 48) < 0 donc pas de racine)
Donc C'M(x) a le même signe que (x - 6) sur cet intervalle.
On en déduit :
x 0 6 10
(x - 6) - 0 +
C'M(x) || - 0 +
CM(x) || décroiss. croissante
4) CM(x) est minimal quand x = 6, soit une production de 6 t.
Partie C
1) B(x) = R(x) - CM(x) avec R(x) recette en milliers d'€, soit R(x) = 40x
= 40x - (0,5x³ - 4x² + 20x + 72)
= 40x - 0,5x³ + 4x² - 20x - 72
= -0,5x³ + 4x² + 20x - 72
2) B(6,5) = ... ≈ 89,69
3) Faux, on a vu que CM(x) est minimal pour x = 6
Or 6 < 6,5 et CM(x) est croissante sur [6;10].
Donc CM(6,5) > CM(6)
Or :
B'(x) = -1,5x² + 8x + 20
Δ = 8² - 4x(-1,5)x20 = 64 + 120 = 184
2 racines : x = (-8 - √184)/-3 ≈ 7,18
et x = (-8 + √184)/-3 ∉ ]0;10]
Donc B(x) est maximum pour x = 7,18
Le maximum de B(x) ne coïncide par avec le minimum de CM(x)
