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résolu

Bonjour à tous, pouvez vous m'aider pour cette exercice, merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur ]-infinie ; 1[ par f(x) = x²-x-1/x-1

1) A l'aide d'une calculatrice, conjecturer le sens de variation de f.
2) Montrer que pour tout x de ] - infinie ; 1[ , f(x) = x- 1/x-1.
3) En utilisant les fonctions usuelles, démontrer la conjecture émise à la questions 1.
4) Montrer que pour tous a, b de ] - infinie ; 1[ , f(b) - f(a) = b -a + b-a/ (a-1) (b-1).
5) En utilisant ce résultat, redémontrer la conjecture émise au 1.

Répondre :

Bonjour ;

1) f semble être strictement croissante sur ] - ∞ ; 1 [ .

2) f(x) = (x² - x - 1)/(x - 1) = (x(x - 1) - 1)/(x - 1) = x - 1/(x - 1) .

3) Sur  ] - ∞ ; 1 [ la fonction linéaire qui a pour expression : x est strictement croissante , et la fonction homographique qui a pour expression : - 1/(x - 1) est strictement croissante (car la fonction homographique qui a pour expression 1/(x - 1) y est strictement décroissante) , donc la somme de ces deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante .

4) f(b) - f(a) = b - 1/(b - 1) - a + 1/(a - 1)
= b - a + 1/(a - 1) - 1/(b - 1) = b - a + (b - a)/((a - 1)(b - 1)) .

5) Pour a ≠ b , on a :

(f(b) - f(a))/(b - a) = 1/((a - 1)(b - 1)) .

Puisque a et b appartiennent à ]- ∞ ; 1 [
alors  a - 1 et b - 1 appartiennent à ] - ∞ ; 0 [ ;
donc : (a - 1)(b - 1) > 0 ;
donc : (f(b) - f(a))/(b - a) > 0 ;
donc f est strictement croissante sur ] - ∞ ; 1 [ .
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