bonjour.
-- exercice 23 --
a. la hauteur H étant perpendiculaire au segment [MT], le triangle ATH est rectangle. dans ce cas, on peut écrire AT² = AH² + HT².
comme AH = 46mm et HT = 23mm, on a AH = 2HT, donc AT² = 4HT² + HT² = 5HT² = 5*23². donc AT = 23*racine(5) (environ 51,43 mm).
par ailleurs, le triangle AHM est également rectangle, donc AM² = AH² + HM².
comme AH et HM sont connus, et que HM = 2AH, on peut écrire AM² = AH² + 4AH² = 5AH² = 5*46². donc AM = 46*racine(5) (environ 102,86 mm).
b. si le triangle MAT est rectangle en A, on peut écrire MT² = AT² + AM².
on sait que AM² = 5*46² et que AT = 5*23², donc MT² = 5*23² + 5*46² = 5*23² + 5*4*23² = 5*23² + 20*23² = 25*23².
par ailleurs MT = MH + HT = 92 + 23 = 5*23, donc on vérifie bien que MT² = 25*23² (puisque (5*23)² = 5²*23² = 25*23²).
donc MAT est bien rectangle en A.
c. les deux façons doivent être, soit de calculer directement l'aire du triangle rectangle MAT, soit de faire la somme des aires des deux triangles rectangles MAH d'une part, et HAT d'autre part.
l'aire d'un triangle rectangle est égale au produit des côtés orthogonaux, divisé par 2, donc:
aire(MAT) = AM²*AT²/2 = (5*46² * 5*23²)/2 = 25*23²/2.
l'aire du triangle MAH est égale à AH²*HM²/2 = (4*23² * 16*23²)/2 = 20*23²/2.
l'aire du triangle HAT est égale à HT²*HA²/2 = (23² * 4*23²)/2 = 5*23²/2.
en ajoutant les deux aires, on a Total = 20*23²/2 + 5*23²/2, donc 25*23²/2.
par conséquent, on vient bien de calculer l'aire du triangle MAT.
bonne journée.
