Bonsoir,
1. Soit la fonction f₁ définie sur ℝ par [tex]f_1(x)=xe^{-x}[/tex]
D'où [tex]f_1(x)=\frac{x}{e^x}[/tex]
Par limite de produit, [tex]\lim \limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=(\lim \limits_{\substack{x \to -\infty}}x)*(\lim \limits_{\substack{x \to -\infty}}e^{-x})=-\infty*e^{-(-\infty)}=-\infty*e^{+\infty}=[/tex] [tex]-\infty*(+\infty)=-\infty[/tex]
Par argument de croissances comparées, [tex]\lim \limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=\lim \limits_{\substack{x \to +\infty}} \frac{1}{ \frac{e^x}{x} } = \frac{1}{+\infty} =0[/tex]
2. f₁ est dérivable, et donc continue, sur ℝ par produit de fonctions dérivables.
[tex]f_1'(x)=(x)'e^{-x}+x(e^{-x})'=e^{-x}+x(-1)e^{-x}=e^{-x}-xe^{-x}[/tex] [tex]=e^{-x}(1-x)[/tex]
Or ∀x∈ℝ, [tex]e^{-x}>0[/tex], donc le signe de f₁' dépend du signe de (1-x)
On sait que 1-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1, et 1-x ≤ 0 ⇔ x ≥ 1
Donc f₁' est positif sur ]-∞;1] puis négatif sur [1;+∞[
Donc f₁ est croissante sur ]-∞;1] puis décroissante sur [1;+∞[
Je te laisse dresser le tableau de variations sur ℝ, sachant que [tex]f_1(1)=1*e^{-1}=e^{-1}[/tex]
