a/ f est construite à partir de fonctions usuelles dont nous savons qu'elles sont dérivables sur [tex]\mathbb{R}[/tex] sans problème. Donc, pour tout réel x, nous avons :
[tex]f'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x+2)xe^x[/tex]
En cherchant à déterminer un signe pour cette expression, comme une exponentielle est toujours numériquement positive, le signe de f' va dépendre de celui de la fonction [tex]x\rightarrow x(x+2)[/tex].
Il ne reste plus qu'à écrire un tableau de signes selon x réel (la fonction TablInit de LaTeX n'est pas reconnue dans le module, je vais tenter de décrire le tableau).
Sur [tex]]-\infty, -2]\cup[0,+\infty[[/tex], le signe de l'expression algébrique est positif ou nul. Sur l'ensemble complémentaire ]-2,0[, il est négatif.
De là, nous en déduisons l'interprétation pour la fonction f de départ : elle est croissante sur le premier intervalle cité et décroissante sur le second.
b/ Il suffit de jeter un œil au tableau de variations et de calculer l'image par f du point -2. Celle-ci vaut :
[tex]f(-2)=4e^{-2}[/tex]
C'est un maximum local, pour l'intervalle des réels négatifs.
c/ Selon l'expression algébrique cartésienne de la tangente, nous avons :
[tex]y_{-1}(x)=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)[/tex]
[tex]y_{-1}(x)=-e^{-1}(x+1)+e^{-1}=-e^{-1}x=- \frac{x}{e} [/tex]
d/ À vous de jouer !
